Рівновага в грі з зупинкою

Розглянемо таку гру для двох гравців:

Природа випадково вибирає програму
Кожен гравець відтворює число у [0, нескінченності] включно у відповідь на рух природи
Візьміть мінімальну кількість гравців і запустіть програму на (до), що багато кроків (якщо обидва гравці не обрали нескінченність)
Якщо програма зупиняється, гравець, який зіграв мінімальну кількість, отримує 1 бал. Якщо програма не зупиняється, гравець втрачає 1 бал. Будь-який гравець, який зіграв не мінімальне число, отримує 0 балів, а обидва гравці отримують 0, якщо вони обидва грають нескінченно.

(Кутові корпуси можна обробляти будь-яким способом, що найкращим чином зберігає дух проблеми - наприклад, верхня напівперервність може бути корисною.)

Питання: чи має ця гра обчислювану рівновагу Неша?

Без вимог до обчислюваності кожен гравець просто відтворює точну кількість кроків, в яких програма зупиняється (або нескінченність, якщо вона не зупиняється).

Якщо ви спробуєте звичайний аргумент діагоналізації для проблеми зупинки, ви виявите, що рівновага існує в змішаних стратегіях, тому очевидний підхід не працює негайно. Можливо, є якийсь спосіб його підправити?

З іншого боку, еквівалентність реальних закритих полів означає, що кінцеві ігри з обчислюваними виплатами мають обчислювані рівноваги . Ця гра не є кінцевою, але простір стратегій закритий, а виплати підлягають обчислюванню, тож, можливо, такий же трюк можна було б застосувати і з теоремою Гліксберга, чи щось у цьому ключі? Проблема полягає в тому, що без вимог до обчислюваності рівновага знаходиться в чистих стратегіях, тому будь-яка спроба довести існування обчислюваної рівноваги за допомогою існування можливо обчислюваного рівноваги має пояснити, чому рівновага знижується з чистого до змішаного.

Це здається такою проблемою, коли люди, можливо, раніше не займалися цим точним питанням, але, можливо, дивились на щось подібне. Мені не вдалося приїхати багато, але якщо хтось знає щось духовно, будь ласка, дайте мені знати!

Мотивація: існує загальна інтуїція, що самонавіювання є основним блоком для обчислюваності - тобто, що будь-яка незрозуміла проблема якимось чином вбудовує самонавіювання. Якщо така гра, приблизно така, має обчислювану рівновагу Неша, це свідчить про цю інтуїцію.

ОНОВЛЕННЯ: Для уточнення рівновага повинна бути "обчислюваною" у значенні обчислюваних реальних чисел: ймовірності, що описують змішаний розподіл стратегії, повинні бути обчислені довільної точності. (Зверніть увагу, що лише кінцево багато ймовірностей буде вище будь-якого конкретного відсічення точності.) Це також означає, що ми можемо взяти вибірку з довільно близького наближення стратегії рівноваги.

lo.logic computability gt.game-theory

— Джон Вентворт
джерело

Чи ваше оновлення також розглядає п'єси як обчислювальні реальні числа? (Тобто, вони можуть грати ряд з ймовірністю 1 , не знаючи, або, не то, що число нескінченності?)

Чи дозволяється нам знати розподіл противника?

— Bjørn Kjos-Hanssen

Ріккі: п'єси можна розглядати як обчислювані цифри, але обрізання цілого числа повинно домінувати над будь-якою нецілої кінцевою грою, оскільки програма буде працювати лише на ціле число кроків (або нескінченності). Я не впевнений, що я розумію ваш приклад у дужках, тому я можу нерозуміти ваше запитання.

— Джон Вентворт

Бьорн: Так. Припустимо, що розподіл природи відомий і надає невагому вагу всім чинним програмам. Також припустимо, що кожен гравець знає стратегію іншого гравця (тобто розподіл).

— Джон Вентворт

@johnwentworth, використовуйте @ або вони не бачать вашої відповіді.

— rus9384

$1/2^i$ $i$ $t$ $j$ $t$ $j$ $j$ $t$

— Ленс Фортнов
джерело

Мені подобається ця конструкція - вона встановлює, що будь-яка рівновага Неша повинна грати правильно для всіх програм. Необхідний додатковий крок, щоб встановити, що вона вирішує проблему зупинки, оскільки дистрибутивам потрібно лише досягти досконалої продуктивності в межах високої точності (і, таким чином, нескінченного обчислення). Оскільки ми знаємо, що вихід повинен надати вагу одиниці на одне ціле число, я думаю, що досить обчислити ймовірності стратегії в межах 1/4, а потім взяти те, що ціле число має вагу більше 1/2.

— Джон Вентворт