Яка ймовірність того, що випадкова булева функція має тривіальну групу автоморфізму?

З огляду на булеву функцію , у нас є група автоморфізму .$f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

Чи є якісь відомі межі на ? Чи є щось відоме для величин форми для деякої групи ?$Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

Так. До вашого першого питання ймовірність переходить до нуля вдвічі-експоненціально швидко. Це можна розрахувати наступним чином. Для кожної перестановки$\pi$, ми можемо обмежити ймовірність того $\pi \in Aut(f)$, тобто те $f(\pi(x)) = f(x)$ для усіх $x \in \{0,1\}^n$. Розглянемо орбіти$\pi$ діючи на $\{0,1\}^n$. У нас це є$\pi$ є автоморфізмом Росії $f$ iff $f$ є постійною на $\pi$-орбіти. Якщо$\pi$ нетривіальна, на ній принаймні одна орбіта $[n]$ це не синглтон, і тому принаймні на орбіті $\{0,1\}^n$це не сингтон. Припустимо, орбіта має$k$елементи в ній. Ймовірність того$f$ Постійна на цій орбіті, таким чином, точно $2^{-(k-1)}$. Припустимо, що$\pi$ діючи на $[n]$ має $c_1$ нерухомі точки, $c_2$ цикли довжиною 2 тощо (зокрема $\sum_{i=1}^n i c_i = n$). Тоді кількість балів$\{0,1\}^n$ зафіксовано $\pi$ саме $2^{\sum_i c_i}$. Усі решта пунктів$\{0,1\}^n$ знаходяться на нетривіальних орбітах $\pi$. До верхньої межі ймовірність того$\pi \in Aut(f)$Зверніть увагу, що найкраща можливість, якщо всі нефіксовані елементи $\{0,1\}^n$ виходять на орбіти розміром 2. Отже, ми отримуємо це $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$ де $M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$. Тепер ми хочемо нижню межу$M$, це означає, що ми хочемо верхню межу $\sum_i c_i$. З тих пір$\pi \neq 1$, Найбільший $\sum c_i$ може бути коли $c_1 = n-2$ і $c_2 = 1$, тобто $\sum c_i = n-1$ і $M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$, тому $M \geq 2^{n-1}$ і $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$. Тепер застосуйте зв'язаний союз:$|S_n| = n!$, тому $Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$, що в основному $2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$ як $n \to \infty$, досить швидко.

Для будь-якого даного $G \leq S_n$ Ви можете використовувати подібні міркування, але ймовірність також дуже швидко піде на нуль.