Чи існує алгоритм, який знаходить заборонені неповнолітні?

Теорема Робертсон-Сеймур говорить , що будь-яка незначна замкнутий сімейство $\mathcal G$ графіків можна охарактеризувати безмежно багато заборонених неповнолітніх.

Чи існує алгоритм, який для введення видає заборонені неповнолітні чи це не можна визначити? $\mathcal G$

Очевидно, відповідь може залежати від того, як описується у вхідних даних. Наприклад, якщо заданий який може визначити членство, ми навіть не можемо вирішити, чи коли-небудь щось відхиляє. Якщо дають кінцево багато заборонених неповнолітніх, - це те, що ми шукаємо. Мені було б цікаво дізнатися відповідь, якщо гарантовано зупиниться на будь-якому через якийсь фіксований час у. Мене також цікавлять будь-які пов’язані з цим результати, де виявляється другорядним закритим за допомогою іншого сертифіката (як, наприклад, у випадку $\mathcal G$ $\mathcal G$ $M_\mathcal G$ $M_\mathcal G$ $\mathcal G$ $M_\mathcal G$ $G$ $|G|$ $\mathcal G$ $TFNP$ або НЕБЕЗПЕЧНО ).

Оновлення: Перша версія мого запитання виявилася досить простою, на основі ідей Марціо і Кімпеля розглянемо наступну конструкцію. приймає графік на вершинах тоді і тільки тоді, коли не зупиняється на кроків. Це незначне значення, і час роботи залежить лише від. $M_\mathcal G$ $n$ $M$ $n$ $|G|$

graph-theory decidability graph-minor

— домоторп
джерело

Якщо представлений TM, що завжди зупиняється , ви можете зменшити до нього проблему зупинки: build який видає так, якщо і тільки якщо зупиняється точно в кроках ( стандартний графік перерахування). приймає не більше одного забороненого неповнолітнім, так є неповнолітнім-замкнутим сімейством ;. , отже , проблема нерозв'язна

G

$\mathcal G$

M_{G}

$M_\mathcal G$

M

$M$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

M

$M$

x

$x$

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G

$\mathcal G$

— Марція De Biasi

@ThomasKlimpel: Ой, я неправильно зрозумів питання. Можливо, виправлення полягає в тому, що: шукати перший такий, що зупиняється точно на кроках потім приймає, якщо не є другорядним ; відкиньте інакше.

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$

M

$M$

i

$i$

G_{i}

$G_i$

G_{x}

$G_x$

— Марціо Де Біасі

@Marzio Так, для спрощення: приймає графік на вершинах, якщо і лише тоді, коли не зупиняється на кроків. Це незначне значення, і час роботи залежить лише від.

M_{G}

$M_\mathcal G$

n

$n$

M

$M$

n

$n$

| G |

$|G|$

— domotorp

Ну, я інтерпретую зупинку, що якщо

M

$M$ зупинки в

2

$2$ кроки, то ми також кажемо, що воно зупиняється

3

$3$ кроки.

— domotorp

@domotorp Оскільки ваша будівництво працює (якщо я не помиляюсь) і відповідає на одне з ваших питань (а оскільки я і Марціо Де Біасі намагалися придумати таку просту конструкцію без успіху), я думаю, ви повинні перетворити свою конструкцію на правильна відповідь. Ви можете зробити це вікі спільноти, якщо вам неприємно відповідати на власне запитання. Можна також відредагувати своє запитання та додати відповідь туди.

— Томас Клімпель

Відповідь Мамаду Мустафи Канте (який робив докторську ступінь під керівництвом Бруно Касерлле) на аналогічне запитання цитує примітку про обчислюваність наборів перешкод для малих графів для монадійних ідеалів другого порядку (1997 р.) Б. Курсорл, Р. Дауні та М. Стипендіатів для результату невирахування (для графіків, визначених MSOL , тобто класів, визначених формулою Monadic другого порядку) та перешкод для другорядного закритого набору графів, визначених безконтекстною граматикою (1998) B . Courcelle та G. Sénizergues для результату обчислень (для графіків, визначених HR , тобто класів, визначених граматикою заміни Hyperedge).

Найважливішою відмінністю між обчислюваним та не обчислюваним випадком є те, що (незначно закриті) HR-графічні класи графіків мають обмежену ширину ширини, в той час як (незначно закриті) класи графіків, визначені MSOL, не повинні мати обмежену пропускну здатність. Насправді, якщо графік (визначений MSOL-графіком), який визначається MSOL, обмежив широку ширину, то він також визначається HR.

Ширина пропускної здатності, здається, є дійсно важливою частиною для відділення обчислюваного від некомплектних випадків. Інший відомий результат (М. Fellows та M􏰊.􏰊 Langston) в основному говорить про те, що якщо відома межа максимальної ширини ширини (або ширини шляху) кінцевого набору виключених неповнолітніх, то (кінцевий) мінімальний набір виключених неповнолітніх стає обчислювальна.

Невідомо навіть, чи можна обчислити (скінченний) мінімальний набір виключених неповнолітніх для об'єднання (який є тривіально неповнолітнім) двох класів другорядних закритих графів, кожний з яких надається відповідним кінцевим набором виключених неповнолітніх, якщо немає інформації приблизно ширина (або ширина траєкторії) доступна. А може, тим часом навіть було доведено, що воно взагалі не обчислюється.

— Томас Клімпель
джерело

Ця остання частина є досить цікавою. Якщо добре розуміти, це означає наступне. Для сімейства графіків

G

$\mathcal G$ , позначаємо через

m (G)

$m(\mathcal G)$ розмір найбільшого забороненого мінімального мінора. Дозволяє

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$ . Тоді не відома рекурсивна верхня межа для

f (n)

$f(n)$ . Чи знаєте ви кілька прикладів, які це показують

f (n)

$f(n)$ росте дуже швидко?

— domotorp

@domotorp Я згоден, хороший момент. У мене є такі ідеї для таких прикладів, але у мене складається враження, що швидкість зростання всіх моїх прикладів (які в основному намагаються грати з розміром "сітка") залишатиметься в межах ELEMENTARY. Однак я вважаю, що якщо я хотів би вкласти час у ці питання, то спершу мені слід вивчити літературу про те, що сталося в 2000-2018 роках, можливо, переглянувши документи, які цитують роботи, про які я знаю, або дивлячись у пізніших публікаціях авторів, які працювали над цими питаннями.

— Томас Клімпель

Я бачу - ну, я не відчайдушно знаю відповідь, просто здивувався і став цікавим ...

— domotorp

@domotorp Показано, що мінімальний набір виключених неповнолітніх для союзу підлягає обчисленню у 2008 році: logic.las.tu-berlin.de/Members/Kreutzer/Publications/…

— Thomas