Докази того, що матричне множення не є в

39

Поширена думка, що для всіх можна помножити дві матриць у $\epsilon > 0$ $n \times n$ $O(n^{2 + \epsilon})$ . Деяке обговорення тут .

Я запитав деяких людей, більш знайомих з дослідженням, чи вважають вони, що існує незалежно від , що існує алгоритм для матричного множення, і вони, здавалося б, мають інтуїція, що відповідь "ні", але не могла пояснити, чому. Тобто вони вважають, що ми можемо це зробити в час , але не в . $k>0$ $n$ $O(n^2 \log^k n)$ $O(n^{2.001})$ $O(n^2 \log^{100} n)$

Які причини існують для того, щоб вважати, що в фіксованому не існує алгоритму $O(n^2 \log^k n)$ $k>0$ ?

— Брайан
джерело

29

Там же алгоритм для множення $N \times N^{0.172}$ матриці з $N^{0.172} \times N$ матрицями в $N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$ арифметичні операції. Основна ідентичність використовується для цього приходить з паперу мідника в «Бистрому множенні прямокутних матриць», але пояснення того , чому це призводить до $N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$ замість $N^{2 + \epsilon}$ знаходиться в додатку Вільямс паперу , «Нових алгоритми і нижні межі для схем з лінійними пороговими воротами ".

Це працює лише тому, що особистість Coppersmith має деяку додаткову структуру, якою ви можете скористатися, а новітні алгоритми ММ, схоже, не мають такої структури. З цього приводу я не впевнений, чому не можна сподіватися на поширення такого підходу на множення матриць на $N \times N \times N$

— Джош Алман
джерело

11

Ну, одне - я думаю, що всі споруди, про які ми знаємо, - і навіть родини потенційних конструкцій, які люди запропонували (наприклад, підходи Кон-Умана, узагальнення Копперсміта-Винограда) - "просто" створили б сімейство алгоритмів $A_\epsilon$ працює в часі $O(n^{2+\epsilon})$ . Отже, щоб мати єдиний алгоритм, який працював в $O(n^2 poly(\log n))$ , він повинен був би бути не просто божевільним асимптотично кращим, ніж сучасні підходи, але повинен був виглядати справді інакше.

Великий застереження: Я думаю. Я ніколи не надто важко замислювався над тим, скільки потрібно буде змінювати / доповнювати до існуючих підходів, щоб вони могли правдоподібно створити єдиний алгоритм, що працює в часі $O(n^2 poly(\log n))$ .

— Джошуа Грохов
джерело

3

Я не впевнений, як наявність сім’ї правдоподібно не призводить до O (n ^ 2poly (log n)), оскільки якщо можна було б досить добре описати сім’ю, то можна було б вибрати більші та більш ефективні члени сім’ї для більшої n. Єдиною причиною того, що це не правдоподібно O (n ^ 2poly (log N)), є те, що задіяні константи, ймовірно, будуть дуже великими, але очевидно, що це обов'язково так.

— ДжошуаЗ

1

O (n^{2 + x})

$O(n^{2+x})$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (n^{2 + ε})

$O(n^{2+\varepsilon})$

1

@JoshuaZ Я вважаю, що інший, більш дивний спосіб цього може бути невдалим, якби якимось вибором / побудовою члена сім'ї знадобилося більше, ніж часу O (n ^ 2 poly (log n)) - наприклад, можливо, O (1 / e) код потрібен реалізувати алгоритм O (n ^ (2 + e)) або щось подібне. Хіба це не було б диким ??

— Даніель Вагнер

10

Джош Алман показав кілька класних результатів нижньої межі ММ, які виграли нагороду CCC 2019 за найкращий студентський папір! http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2019/10834/pdf/LIPIcs-CCC-2019-12.pdf

— Рупей Сюй
джерело

6

O (n^{2} p o l y (l o g n))

$O(n^2 poly(log n))$

4

@JoshuaGrochow Дякуємо, що вказали на це питання.

— Рупей Сюй