-мережі щодо норми скорочення

Норма зрізу реальної матриці - це максимум для всіх кількості. A = ( a i , j ) ∈ R n × n I ⊆ [ n ] , J ⊆ [ n ] | ∑ i ∈ I , j ∈ J a i , j$||A||_C$$A = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}$$I \subseteq [n], J \subseteq [n]$$\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right|$

Визначте відстань між двома матрицями і що будеB d C ( A , B ) = | | А - В | | $A$$B$$d_C(A,B) = ||A-B||_C$

Яка кардинальність найменшого -метрики метричного простору ?( [ 0 , 1 ] n × n , d C$\epsilon$$([0,1]^{n\times n}, d_C)$

тобто розмір найменшого підмножини такий, що для всіх існує такий, що . A ∈ [ 0 , 1 ] n × n A ′ ∈ S d C ( A , A ′ ) ≤ $S \subset [0,1]^{n\times n}$$A \in [0,1]^{n\times n}$$A' \in S$$d_C(A, A') \leq \epsilon$

(EDIT: я забув згадати, але мене також цікавить "невідповідний" -nets, з - тобто якщо елементами -net має записи поза [0,1], що також цікаво.)S ⊂ R n × n +$\epsilon$$S \subset \mathcal{R}_+^{n\times n}$$\epsilon$

Мене цікавлять і верхня, і нижня.

Зауважте, що методи розрізання розрізання означають -мережі для вирізаних метрик, але дають щось сильніше, ніж мені потрібно - вони дають -мережу, для якої ви можете ефективно знайти -закрити точку до будь-якої матриці, просто відібравши вибірку з цього матриця. Можна уявити, що існує набагато менше -мереж, для яких не можна просто взяти вибірку, знайти -закрити точку довільної матриці.ϵ ϵ ϵ $\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$

Я спочатку задав це питання тут на mathoverflow.

Ось проста оцінка. Тут ми називаємо множину S ⊆ X a ε - мережею метричного простору X, коли для кожної точки x ∈ X існує точка s ∈ S така, що відстань між x і s становить щонайбільше ε . Якщо ви хочете суворої нерівності у визначенні ε -net, ви можете трохи змінити значення ε .

Він вважає, що || А || _∞ ≤ || А || _C ≤ n ² || А || _∞ , де || А || _∞ позначає entrywise Max-норму в п × п матриці А .

Легко побудувати ε -метрию метричного простору ([0,1] ^N , d _∞ ) з розміром ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^N , і не важко показати, що цей розмір є мінімальним. (Щоб показати мінімальність, врахуйте точки ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^N , координати яких кратні 1 / ⌈1 / (2 ε ) −1⌉, і покажіть, що відстань між будь-якими двома з цих точок більше 2 ε .) Встановлюючи N = n ² і поєднуючи це з вищезгаданим порівнянням між нормою розрізу та максимальною нормою, мінімальна кардинальність a ε-нета по відношенню до норми зрізу становить щонайменше ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^{n 2} і щонайбільше ⌈ n ² / (2 ε ) ⌉ ^{n 2} .

Оновлення : Якщо мій розрахунок правильний, кращу нижню межу Ω ( n / ε ) ^{n 2} можна отримати за допомогою аргументу гучності. Для цього нам потрібна верхня межа обсягу ε- кулі відносно норми зрізу.

Спочатку ми розглянемо “норму зрізу” одного вектора, яка є максимумом між сумою позитивних елементів та запереченою сумою негативних елементів. Не важко показати, що обсяг ε- кулі у ℝ ⁿ стосовно цієї "норми зрізу" дорівнює

Далі, так як розрізана норма в п × п матриці А більше або дорівнює розрізана норму кожного рядка, обсяг ε -куля в ℝ ^{п × п} вищими за в п - го ступеня обсягу ε -ball у ℝ ⁿ . Тому розмір ε- нетто [0,1] ^{n × n} повинен бути не менше

де остання рівність - це нудне обчислення, в якому ми використовуємо формулу Стірлінга : ln n ! = n ln n - n + O (log n ).