Чи означає ?

Наскільки я розумію, програма теорії геометричної складності намагається відокремити , довівши, що перманент складної матриці обчислити набагато важче, ніж визначник.$VP \neq VNP$

Питання, яке у мене виникло після проїзду через статті GCT: Чи це негайно означатиме , чи це просто головний крок до цієї мети?$P \neq NP$

Коротка відповідь - «ні». Таких наслідків не відомо. Є дві основні перешкоди: Перехід від складності арифметичної схеми до булевої складності (VP ≠ VNP передбачає P / poly ≠ NP / poly), а потім перехід від булевої складності ланцюга (P / poly ≠ NP / poly) до рівномірної складності (P ≠ NP ). Жоден із цих кроків не відомий. Я вважаю, що P / poly ≠ NP / poly припускає VP VP VNP, однак.

Якщо припустити узагальнену гіпотезу Рімана (GRH), відомі наступні досить сильні зв'язки між і крахом поліноміальної ієрархії ( P H ):$VP= VNP$${\rm PH}$

1. Якщо $VP= VNP\,$ (над будь-яким полем) тоді поліноміальна ієрархія руйнується до другого рівня;
2. Якщо $VP=VNP\,$над полем характеристики , то N C 3 / p o l y = P / p o l y = P H / p o l y ;$0$$\rm{NC}^3/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$
3. Якщо $VP=VNP\,$над полем кінцевої характеристики , тоді N C 2 / p o l y = P / p o l y = P H / p o l y .$p$$\rm{NC}^2/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$

Це результати: Пітера Бургіссера, « Кука проти гіпотези Валіана », Теор. Склад. Sci., 235: 71–88, 2000.

Дивіться також: Бургіссер, " Повнота та скорочення в алгебраїчній теорії складності ", 1998.

Я можу дати вам неофіційну причину , по якій поділ не буде доведена .$P \ne NP$

VP і VNP фокусуються на алгебраїчних функціях, ступінь яких обмежена поліномом. Зауважте, що в алгебраїчній функції експоненціального ступеня легко обчислити алгебраїчну схему розміру полінома.

Існує добре відоме зменшення глибини на 1 для алгебраїчних схем: будь-яка алгебраїчна схема поліноміального розміру, що обчислює поліном ступеня може бути перетворена в алгебраїчну схему розміру і глибини полінома O ( log d log n ) .$d$$O(\log d \log n)$

Ви можете думати про як алгебраїчний варіант N C 2 , таким чином , доводить , що V Р ≠ V Н Р становить довести алгебраїчну нерівномірну еквівалент N C 2 ≠ # P . Це не виключає P = N P , принаймні, не відразу.$VP$$NC^2$$VP \ne VNP$$NC^2 \ne \# P$$P = NP$

Відмова від відповідальності : Я не можу отримати доступ до паперу зараз і не пам'ятаю, чи зменшення працює в будь-якій галузі або просто в кінцевих.

1 LG Valiant, S. Skyum, S. Berkowitz, C. Rackoff. Швидке паралельне обчислення поліномів з використанням декількох процесорів . SIAM J. Comput. 12 (4), с. 641-644, 1983.