Я переписувався з Джоелем Фрідманом близько 3 років тому на цю тему. У той час він заявив, що його підхід не привів до будь-яких суттєвих нових поглядів на теорію складності, хоча він все ще вважав, що це багатообіцяюча справа.
В основному Фрідман намагається перефразувати проблеми складності ланцюга мовою снопів у топології Гротендіка. Сподіваємось, що цей процес дозволить застосувати геометричну інтуїцію до проблеми знаходження нижньої межі ланцюга. Хоча, безумовно, варто перевірити, чи веде цей шлях кудись, є евристичні причини бути скептичними. Геометрична інтуїція найкраще працює в умовах гладких різновидів, або речей, які досить схожі на гладкі сорти, які інтуїція не розбивається повністю. Іншими словами, вам потрібна якась структура , щоб геометрична інтуїція зміцнилася. Але нижні межі схеми за своєю суттю повинні протистояти довільним обчисленням, які важко точно проаналізувати, оскільки вони здаються такими безструктурними. Фрідман прямо зізнається, що топології Гротендіка, які він вважає, є дуже комбінаторними і далеко віддаленими від звичайних об'єктів вивчення алгебраїчної геометрії.
В якості побічного коментаря я б сказав, що важливо не надто захоплюватися ідеєю лише тому, що вона використовує незнайомі, потужні машини. Машина може бути дуже ефективною для вирішення проблем, для яких вона була розроблена, але для того, щоб вона була корисною для нападу на відому важку проблему в іншій області, повинен бути певний переконливий аргумент, чому іноземна техніка добре пристосована для вирішення фундаментальних питань перешкода в проблемі інтересу.