Когомологічний підхід до булевої складності


33

Кілька років тому була робота Джоела Фрідмана, що стосується нижньої межі ланцюга до когомології Гротендіка (див. Статті: http://arxiv.org/abs/cs/0512008 , http://arxiv.org/abs/cs/0604024 ). Чи вніс цей напрямок думок якісь нові уявлення про булеву складність, чи це залишається скоріше математичною цікавістю?


4
Мені дуже цікаво бачити відповідь на це. Звичайно, найпростіше було б надіслати електронною поштою Джоелю Фрідману :)
Суреш Венкат

Відповіді:


28

Я переписувався з Джоелем Фрідманом близько 3 років тому на цю тему. У той час він заявив, що його підхід не привів до будь-яких суттєвих нових поглядів на теорію складності, хоча він все ще вважав, що це багатообіцяюча справа.

В основному Фрідман намагається перефразувати проблеми складності ланцюга мовою снопів у топології Гротендіка. Сподіваємось, що цей процес дозволить застосувати геометричну інтуїцію до проблеми знаходження нижньої межі ланцюга. Хоча, безумовно, варто перевірити, чи веде цей шлях кудись, є евристичні причини бути скептичними. Геометрична інтуїція найкраще працює в умовах гладких різновидів, або речей, які досить схожі на гладкі сорти, які інтуїція не розбивається повністю. Іншими словами, вам потрібна якась структура , щоб геометрична інтуїція зміцнилася. Але нижні межі схеми за своєю суттю повинні протистояти довільним обчисленням, які важко точно проаналізувати, оскільки вони здаються такими безструктурними. Фрідман прямо зізнається, що топології Гротендіка, які він вважає, є дуже комбінаторними і далеко віддаленими від звичайних об'єктів вивчення алгебраїчної геометрії.

В якості побічного коментаря я б сказав, що важливо не надто захоплюватися ідеєю лише тому, що вона використовує незнайомі, потужні машини. Машина може бути дуже ефективною для вирішення проблем, для яких вона була розроблена, але для того, щоб вона була корисною для нападу на відому важку проблему в іншій області, повинен бути певний переконливий аргумент, чому іноземна техніка добре пристосована для вирішення фундаментальних питань перешкода в проблемі інтересу.


4
Звичайно, зусилля Мулмулі йдуть по "схожим" напрямкам у сенсі використання "гладких структур", але він розглядає проблеми, які дозволяють почати приємні геометричні інваріанти.
Суреш Венкат

2
@Suresh: Ти маєш рацію, що підхід Малмулі-Сохоні відрізняється, але основна проблема впоратись із довільним обчисленням все ще ховається на задньому плані, тому справедливо запитати, як можна розраховувати на те, що ти хочеш зіткнутися з цим. На даний момент я не думаю, що ніхто насправді не знає, ось чому люди GCT незабаром не обіцяють вражаючих проривів.
Тімоті Чоу

дійсно. цікаво подивитися документ STOC 2011, який використовує GCT для меж множення матриць (і Кетан згадав цей результат у своєму підручнику на FOCS)
Суреш Венкат,

1
@Suresh: Якщо ви говорите про папір Buergisser / Ikenmeyer, я думаю, що це говорить набагато більше про межі підходу GCT, ніж про те, як довести нижчі межі.
5501

1
@Neel, у мене немає відповіді, але мені цікаво, чи може це заслуговувати свого питання.
Суреш Венкат

16

Я думаю, що у Тімоті Чоу це правильно. У мене є власний особистий список ідей, що стосуються "гладких" різновидів, або таких понять, як підрахунок з'єднаних компонентів чи мономеїв, які йдуть із нижніми низками "сходинки когомології" --- - всі вони показали, що вони не визначають твердість ( варіації) конструкція Майра-Мейєра, що демонструє ДОСЛІДЖЕННЯ - повноту різних проблем, пов'язаних з ГКТ. Мій один риф на своєму останньому пункті, що я думаю , що деякі роду потужних машин необхідно ...!

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.