Гра Дракула

Передумови
Це питання мотивоване настільною грою під назвою "Дракула". У цій грі є один вампір і чотири мисливці, мета мисливців - зловити вампіра. Гра відбувається в Європі. Гра виглядає так:
1. Гравець-мисливець ставить усіх мисливців у містах. У одному місті можна розмістити більше одного мисливця.
2. Гравець-вампір ставить вампіра у місто.
3. Гравці по черзі переміщують своїх істот до сусідніх міст.
4. Гравець-мисливець у свою чергу може рухати стільки мисливців, скільки хоче.
5. Основна складність полягає в тому, що гравець-вампір весь час знає, де перебувають мисливці, але гравець-мисливець знає лише вихідну позицію вампіра.
6. Коли в місті зустрічається мисливець і вампір, тоді гравець-вампір програє.

Запитання
Для даного графіка та чисел n та k , чи існує стратегія, яка гарантує гравцеві мисливця, який керує російськими мисливцями, ловити вампіра менше ніж на k оборотах? Можна припустити, що G планарний. Чи вивчена ця проблема? Деякі посилання будуть вдячні.$G$$n$$k$$n$$k$$G$

Гра, яку ви описали, дуже схожа на гру k Cops та 1 Robber, як описано у цій статті Кларком та Макгіллівраєм: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X12000064 . В основному, вона грається, розміщуючи k поліцейських і грабіжника на вершинах графа і просять поліцейських зловити грабіжника, рухаючись по краях.

Основна відмінність від вашої гри та цієї - часткова видимість мисливців, тоді як у класичних поліцейських та грабіжників поліцейські точно знають, де грабіжник, і навпаки. Також у копів та грабіжників час не обмежений.

Навіть з повною інформацією, якщо час не обмежений, було показано, що визначення того, чи можуть кінцеві поліцейські врешті-решт захопити грабіжника в кінцевий час, коли грабіжник та поліцейські грають оптимально, закінчується експоненційним часом ( http://arxiv.org /abs/1309.5405 ), коли k не виправлено. Отже, оскільки у ваші ігри для поліцейських важче грати, я б припустив, що це також не може бути вирішено в поліномічний час, коли час не обмежений. Я думаю, що кількість рухів, необхідних для того, щоб к копи могли зловити грабіжника, можна обмежити вище, скажімо, c, і якщо кількість кроків k, дозволених мисливцям, наближається до цього числа c, то гра мисливців і вампірів була б принаймні настільки важко вирішити, ніж к копів та грабіжників (див. статтю Бонато та ін.: Час захоплення графіка).

Як зазначає @MarcusRitt в коментарях, це відомо як пошук графіків. Хочеться додати, що конкретний варіант, який ви описуєте (тобто, пов’язаний кількість розіграних раундів із кількістю працюючих шукачів), також був досліджений, що не зазначається у статті Вікіпедії. Цікаво, що перехід від простору пошуку до часу пошуку зберігає характеристики проблеми (шляхом введення відповідних "подвійних" версій відповідних параметрів).

Дивіться статтю "Пошук графіка та час пошуку" Бранденбурга та Геррмана на SOFSEM 2006.

$v$$v$$1$$1$$k$, також для планарних графіків можна зблизити кількість копів (а потім отримати відповідне розкладання) за поліноміальний час. Можливо, вам цікаво прочитати більше з цих конспектів лекцій.