Програма GCT Мулмулі

Іноді стверджується, що теорія геометричної складності Кетана Малмулі є єдиною правдоподібною програмою вирішення відкритих питань теорії складності, таких як P проти NP. Про програму надійшло кілька позитивних коментарів відомих теоретиків складності. За словами Мулмулі, потрібен тривалий час, щоб досягти бажаних результатів. Увійти в область непросто для теоретиків загальної складності і потребує значних зусиль, щоб зрозуміти алгебраїчну геометрію та теорію представлення.

1. Чому GCT вважається здатним врегулювати P проти NP? Яка ціна претензії, якщо очікується, що на її дістання піде більше 100 років? Які його переваги перед іншими сучасними підходами та тими, які можуть зрости в найближчі 100 років?

2. Який поточний стан програми?

3. Яка наступна мета програми?

4. Чи була якась фундаментальна критика програми?

Я вважаю за краще відповіді, зрозумілі теоретику загальної складності з мінімальним фоном алгебраїчної геометрії та теорії представлення.

Як вказували багато інших, багато хто з цих питань вже говорив від Малмулі, Регана та інших. Я запропоную тут лише короткий підсумок того, що, на мою думку, є ключовими моментами, про які ще не було сказано в коментарях.

1. Щодо того, чому GCT вважається правдоподібним, щоб показати багато відповідей уже було надано в інших місцях та в коментарях вище, хоча я думаю, ніхто ще не згадував, що, схоже, уникають відомих бар'єрів (релятивізація, алгебризація, природні докази). ). Щодо його цінності - я думаю, навіть якщо нам знадобиться 100 років, ми навчимось чомусь новому про складність, вивчаючи це з цього кута.$P \neq NP$

2. • Певний прогрес досягається у розумінні алгебраїчних різновидів, уявлень та алгоритмічних питань, що виникають у ГКТ. Основні дослідники, яких я знаю, хто зробив роботу над цим, - це П. Бургіссер, К. Ікенмайєр, М. Крістандль, Дж. М. Ландсберг, К. В. Субрахманян, Дж. Бласяк, Л. Манівель, Н. Рессайєр, Дж. Вейман, В. Попов, Н. Каял, С. Кумар, і звичайно К. Малмулей та М. Сохоні.

   • Більш конкретно, Бургіссер і Ікенмайєр щойно представили (STOC 2011) кілька скромних нижчих меж множення матриці, використовуючи підхід GCT ( , порівняно з найбільш відомим на даний момент $n^2 + 2$$\frac{3}{2}n^2 +O(n)$

   • У Н. Каяля є кілька робіт з алгоритмічного питання тестування, коли один многочлен знаходиться на орбіті іншого або є проекцією іншого. Він показує, що загалом ці проблеми є важкими для NP, але для спеціальних функцій, таких як постійні, визначальні та елементарні симетричні многочлени, ці проблеми вирішуються в P. Це крок до деяких гіпотез Малмулі (що певні важчі проблеми - вирішення орбіти закриття - знаходяться в P для спеціальних функцій, таких як детермінант).

3. У мене немає нічого більш конкретного, щоб сказати на це питання, ніж відповідь на 2.

4. Наскільки мені відомо, фундаментальної критики не було , в тому сенсі, що я не бачив жодної критики, яка дійсно дискредитує програму. Безумовно, обговорювалося, чому такі методи повинні бути необхідними, цінність програми з огляду на тривалий час, який очікується тощо, але я б характеризував їх більше як здорове обговорення, ніж фундаментальна критика.

Я думаю, що ця стаття Кетана Д. Малмулі відповість щонайменше на запитання №1 (можливо, 2) Про P проти NP та теорії геометричної складності