Нижні межі формули для функцій AC0

Питання:

Яка найвідоміша нижня межа формули для явної функції в AC ⁰ ? Чи є явна функція з нижньою межею ?$\Omega(n^2)$

Фон:

Як і більшість нижчих меж, нижчі межі формули важко підійти. Мене цікавить нижня межа розміру формули над стандартним універсальним набором воріт {І, АБО, НЕ}.

Найбільш відомою нижньою межею формули для явної функції над цим набором воріт є для функції, визначеної Андрєєвим. Цю межу показав Хестад, покращуючи нижню межу Андрєєва Ω ( n 2,5 - o ( 1 ) ) . Ще одна явна нижня межа - нижня межа Храпченка Ω ( n 2 ) для функції паритету.$\Omega(n^{3-o(1)})$$\Omega(n^{2.5-o(1)})$$\Omega(n^2)$

Однак ці дві функції відсутні в AC ⁰ . Мені цікаво, чи знаємо явну функцію в AC ⁰ з квадратичною (або кращою) нижньою межею. Найкраща межа, про яку я знаю, - це нижня межа для функції розрізнення елементів, як показав Нечипорук. Зауважте, що функція розрізнення елементів знаходиться у зміні AC ⁰ , тому я шукаю нижню межу для явної функції AC ^0, яка краща, ніж Ω ( n 2 / log n ) , переважно Ω ( n 2 ) .$\Omega(n^2/\log n)$$\Omega(n^2/\log n)$$\Omega(n^2)$

Подальше читання:

Прекрасний ресурс на тему - "Булева функціональна складність: аванси та межі" Стасіса Юкна. Проект книги доступний безкоштовно на його веб-сайті.

Приємне запитання! Храпченко точно не може дати квадратичні нижні межі для функцій . Його нижня межа насправді є принаймні квадратом середньої чутливості. І всі функції в A C 0 мають середню полігалоарифмічну чутливість. Субботовська-Андрєєва, мабуть, також не можуть дати такої функції, оскільки аргумент, який вони використовують (випадкове обмеження призводить до набагато менших формул), є саме причиною примушування великого розміру ланцюга A C 0 ; Лема-переключення Хастада (я не зовсім впевнений, просто інтуїція). Єдина надія - Нечипорук. Але його аргумент не може дати більше n 2 / log $AC^0$$AC^0$$AC^0$$n^2/\log n$, з інформаційно-теоретичних причин. Отже, чи може бути так, що все в має формули квадратичного (або навіть меншого) розміру? Я не вірю в це, але не зміг швидко знайти контрприклад. $AC^0$

Власне, феномен Аллендера-Коккі виникає і в іншому контексті - у складності графіка. Скажіть, що схема змінних являє собою двосторонній n × n графік G у вершинах V = { 1 , … , 2 n }, якщо для кожного вхідного вектора a з точно двома 1s є, скажімо, позиції i та j ( i ≤ n , J > п ) схема приймає тоді і тільки тоді вершини я і $2n$$n\times n$$G$$V=\{1,\ldots,2n\}$$a$$i$$j$$i\leq n$$j>n$$a$$i$$j$суміжні в . Проблема: покажіть явний графік G, який вимагає, щоб принаймні n ϵ ворота були представлені монотонною схемою Σ 3- схеми. Схоже , невинне запитання (так як більшість графів вимагають близько п +1 / +2 воріт. Але будь-який такого граф дасть нам булеву функцію 2 м = 2 балки п змінних , що вимагають немонотонну логарифмічну глибину схему суперлінейного розміру (за результатами Отже, навіть довести n ϵ нижню межу для мікросхем глибини 3 може бути проблемою. $G$$G$$n^{\epsilon}$ $\Sigma_3$$n^{1/2}$$2m=2\log n$$n^{\epsilon}$

Дякую, Kaveh, що бажаєш подивитися на глави про складну перевірку!

Щодо питання Робіна, спочатку, що примітка містить функції, що вимагають формул (і навіть ланцюгів) розміром n k для будь-якої постійної k . Це випливає, скажімо, з простого факту, що A C 0 містить усі DNF з постійно довгими одночленами. Таким чином, A C 0 містить принаймні окремі функції exp ( n k ) для будь-якого k . З іншого боку, ми маємо щонайбільше про функції exp ( t log n ), які можна обчислити за формулами розміру $AC^0$ $n^k$$k$$AC^0$$AC^0$$\exp(n^k)$$k$$\exp(t\log n)$$t$.

Я коротко обговорили питання отримання явних нижніх меж або більше з Ігорем Сергєєвим (з Московського університету). Однією з можливостей може бути використання методу Андрєєва, але застосований до якоїсь іншої, простішої обчислюваної функції замість Parity. Тобто розглянемо функцію n змінних форми F ( X ) = f ( g ( X 1 ) , … , g ( X b ) ), де b = log n, а g - функція в $n^2$$n$$F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$$b=\log n$$g$ з n / b змінних; f - якась найскладніша функція b змінних (достатньопросто існування f ). Нам потрібно тільки тещо функція г не може бути «убитий» в наступному сенсі: якщо ми фіксуємо всікрім K змінних в X , то це повинно бути можливо виправити всеале один з решти змінних г такщо отримана подфункция г є єдиною змінною. Тодізастосовуючи аргумент Андрєєва і використовуючи результат Hastad про тещо стиснення постійна,крайней мере 2 (не тільки 3 /$AC^0$$n/b$$f$$b$$f$$g$$k$$X$$g$$g$$2$$3/2$як раніше показала Сибботовська), отримана нижня межа для буде приблизно n 3 / k 2 . Звичайно, ми знаємо, що кожну функцію в A C 0 можна вбити за допомогою фіксації всіх змінних, крім n 1 / d , для деякої постійної d ≥ 2 . Але , щоб отримати п 2 нижня межа цього буде достатньо , щоб знайти явну функцію A C 0 , які не можуть бути вбиті, фіксуючи все , але, скажімо, п 1 /$F(X)$$n^3/k^2$$AC^0$ $n^{1/d}$$d\geq 2$$n^2$$AC^0$$n^{1/2}$змінні. Таку функцію слід шукати на глибину більше двох.

Власне, для функції як зазначено вище, можна отримати нижчі межі приблизно n 2 / log n за допомогою простого жадібного аргументу, без Нечипорука, без Суботовської та без випадкових обмежень! Для цього достатньо лише, щоб "внутрішня функція" g (Y) була нетривіальною (залежить від усіх її n / b змінних). Більше того, обмеження має місце для будь-якої основи постійних вентиляційних воріт, а не лише для формул Де Моргана.$F(X)$$n^2/\log n$$n/b$

Доведення: Дано формулу для з s листями, виберіть у кожному блоці X i змінну, яка є найменшою кількістю разів як лист. Потім встановіть всі інші змінні на відповідні константи так, щоб кожен g ( X i ) перетворювався на змінну або її заперечення. Отримана формула буде тоді по крайней мере , п / б раз менше , ніж в вихідній формулі. Таким чином, s є щонайменше n / b = n / log $F(X)$$s$$X_i$$g(X_i)$$n/b$$s$$n/b=n/\log n$$2^b/\log b=n/\log\log n$$f$$s\geq n^{2-o(1)}$

$n^2$$(d+1)$$d$