Сітка

37

Оновлення : Набір перешкод (тобто "бар'єр NxM" між кольоровими та кольоровими розмірами сітки) для всіх 4-х забарвлень, які не мають однотонних прямокутників, тепер відомий .

Хтось відчуває до себе спробу 5-ти забарвлень? ;)

Наступне питання виникає з теорії Рамзі .

Розглянемо -кольорування -by- графіка сітки. Існує тоді, коли чотири клітини з тими ж квітами розташована в кутах деякого прямокутника. Наприклад, і утворюють монохроматический прямокутник , якщо вони мають один і той же колір. Аналогічно, $k$ $n$ $m$ monochromatic rectangle $(0,0), (0,1), (1,1),$ $(1,0)$ і утворюють монохроматический прямокутник, якщо кольору з тим же кольором. $(2,2), (2,6), (3,6),$ $(3,2)$

Запитання : Чи існує кольорове забарвлення графіка -by- , яке не містить монохроматичного прямокутника? Якщо так, вкажіть явне забарвлення. $4$ $17$ $17$

Деякі відомі факти:

-by- є кольоровим без монохроматичного прямокутника, але, схоже, відома схема фарбування не поширюється навипадок -by- . (Яопускаю відомезабарвлення - тому що це, швидше за все, буде червоною оселедець для вирішення " - .) $16$ $17$ $4$ $17$ $17$ $16$ $17$ $17$ $17$
матрицірозмірністю цеНЕ -раскрашіваемимі без монохроматического прямокутника. $18$ $19$ $4$
-by- та -by- також є невідомими випадками; відповідь на це також була б цікава. $17$ $18$ $18$ $18$

Відмова від відповідальності: Білл Гашар отримав виграш у розмірі 289 доларів США (USD) за позитивну відповідь на це питання; ви можете зв’язатися з ним через його блог. Примітка до етикету: я переконуюсь, що він знає джерело будь-якої правильної відповіді (якщо така виникає).

Він підніс це ще раз під час сеансу перешкод на "Бар'єрах II", і мені це здається цікавим, тому я пересилаю питання тут (без його відома; хоча я дуже сумніваюся, що він буде проти).

— Даніель Апон
джерело

11

Просто хочу додати кілька посилань / покажчиків: окрім публікацій у блозі [1,2], оновлення в блозі біт-плеєрів [3,4] є детальними та проникливими. На всіх цих посадах відбулася суттєва дискусія. [1]: blog.computationalcomplexity.org/2009/11/… [2]: blog.computationalcomplexity.org/2009/12/… [3]: bit-player.org/2009/the-17x17-challenge [4] : bit-player.org/2009/17-x-17-a-nonprogress-report Примітка: Немає форматування розмітки у коментарях? Як я можу зробити гарні посилання?

— Нельдхара

Це кілька чудових посилань. Дякую Нельдхара! :)

— Даніель Апон

Так само, дякую, що ви розмістили це тут - я спостерігав за подіями з цього питання протягом деякого часу, і це повинно викликати інтерес до проблеми!

— Нельдхара

2

@Moron: Так, вам потрібно розглянути лише ті прямокутники, сторони яких паралельні осям. До речі, для цього також існує кут теорії складності: Білл припускав, що, отримавши часткове забарвлення k по сітці m по n, визначивши, чи може забарвлення завершено без прямокутника, не завершено NP.

— Курт

2

Група проблем з автоморфізмом велика:

симетрії, що зберігають рішення, підрахунок заміни рядків-стовпців, перестановки кольорів, перестановки рядків та перестановки стовпців. Це відомо , скільки різних Прямокутник вільних підмножин є розмір

?

2 \times 4! \times (17!)^{2} = 6.1 \times 10^{30}

$2\times 4! \times(17!)^2=6.1\times 10^{30}$

71, 72, 73, . . .

$71,72,73,...$

— mjqxxxx

23

Деякі з вас, напевно, знають про це, але проблему фарбування розміром 17 х 17 вирішили Бернд Штейнбах та Крістіан Постхофф. Дивіться блог Gasarch тут .

— Лев Рейзін
джерело

8

Також сітка 18х18 є 4-х кольоровою без однотонних прямокутників ... тепер єдиною "відсутньою плиткою" є сітка 21x12

— Marzio De Biasi

13

Це насправді не є відповіддю на питання, але я зашифрував проблему кольорових кольорів 17x17 як 4-CNF (у стандартному форматі DIMACS для SAT-вирішувачів) і завантажив її сюди . Якщо хтось має доступ до хорошого рішення SAT (і суперкомп'ютера!), Можливо, ми можемо досягти певного прогресу.

Примітка: якщо в моєму кодуванні, якщо сітці призначено колір , то змінна приймає значення , а іншому випадку . $(i,j)$ $c \in \{0,1,2,3\}$ $(17i+j+289c+1)$ $1$ $0$

— Лев Рейзін
джерело

3

Awesome. (I do indeed have access to a supercomputer.) Next step's running numbers to estimate this thing's runtime on the specific machine. Who knows if this is in the ballpark of reasonable, but it's a different approach I'd been looking at. Now, time to go find that recent question on SAT-solvers so I can read up... :)

— Daniel Apon

Turns out the problem I was thinking of was on #SAT, so I've started a new question on SAT solvers at cstheory.stackexchange.com/questions/1719/…

— Daniel Apon

Great - let me know how it goes!

— Lev Reyzin

4

@Lev, just a random update: it appears the runtime of the 17x17, even using the best possible supercomputer and a really fast SAT solver, is still astronomical. Plus side: it appears within the realm of reason to attack this with a supercomputer in a targeted way, i.e. find the exact partial 1-colorings that will work (already done by hand by Beth Kupkin at Rutgers), then find the exact partial 2-colorings that will work from that, etc. Down side: there's no "quick solution"; it'll have to be a long-term project with multiple stages of supercomputer execution

— Daniel Apon

1

@Joe, however! Here is a "leaderboard" of the current best approximate colorings: Leaderboard -- It appears simulated annealing works quite well for finding approximate colorings.

— Daniel Apon

4

This is not a real answer, either. Certainly the problem here is the presence of an astronomical number of symmetries, which fool even the best SAT solvers on the best supercomputers. Such symmetries map solutions to solutions and non-solutions to non-solutions: in this case probably there is an immense number of almost-solutions (i.e. assignments satisfying all but a small amount of clauses), each of which can be obtained by any other applying a proper symmetry. Hence the solver wastes an enormous amount of time trying each of these almost-solutions, while in a certain sense they are all the same.

Exploiting symmetries (see this paper) should be an avenue to explore in order to attack this hard 17x17 instance and make some progress on it. I wonder if anyone already tried to do so.

— Giorgio Camerani
джерело

Hey, that's pretty sweet! :) Hadn't seen it before.

— Daniel Apon

@Daniel: You're welcome! ;-) Hope it helps.

— Giorgio Camerani

I used Aloul's "Shatter" program on multiple encodings of the 17x17 problem and put some CPU weeks into a few different SAT solvers and had no luck. The paper Walter referenced is actually the first of maybe a dozen or something he's written on the subject, so there might be something in there that'll do the job, but it's no low hanging fruit.

— Jay Kominek

3

Again, not a real answer, but anyway, here are some thoughts on adopting graph colouring algorithms for this problem.

Let us say that a set $I$ of grid positions is an independent set if set $I$ does not contain all four corners of some rectangle. Define a maximal independent set in the obvious way. Now the following are equivalent claims:

$n$ -by- $m$ grid can be coloured with $k$ colours.
$n$ -by- $m$ grid can be covered with $k$ independent sets.
$n$ -by- $m$ grid can be covered with $k$ maximal independent sets.

Now, the interesting thing is that covering with independent sets can be done in time $\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$ using fast covering product algorithm (Björklund et al. 2007). This is certainly is an improvement over trivial $k^{mn}$ algorithm, though $2^{289}$ seems still unsurmountable.

If the family of all (maximal) independent set has sufficiently nice structure, it might also be possible to fine-tune the covering product algorithm.

— Janne H. Korhonen
джерело

How is claim 3 equivalent to claim 2? The maximal independent set for 17x17 is of size 74, by the way, as shown in Elizabeth Kupin's paper (pdf). There is only one such set, not counting permutations of the rows and columns as distinct.

— Null Set

I mean maximal in the sense that no proper superset is independent, as it is customary in computer science. Maximum is the word usually used when meaning "of largest possible size".

— Janne H. Korhonen

In that case, the set of maximal independent sets contains all the row/column permutations of the unique size 74 set, and no size 73 independent sets, because they are all subsets of the size 74 set. I'm not sure what it has from sizes 67 to 72.

— Null Set

3

The 21x12 grid is 4-colorable without monochromatic rectangles, as well !!!

See last Bernd Steinbach's post on Gasarch's blog!

— Marzio De Biasi
джерело

-4

This is Bill Bouris. Hi, Dan. I'm working on a program that searches for a suitable 17x17 matrix which exhibits no-4-coloring according to Ramsey's Theory. I use a positional matrix depicting all connections between points and fix the main diagonal and allow the top row of the matrix to run through all of the possible 16choose8 combinations; I capture only the matrices that pass regarding the following criteria... no-XRRR, no-RXRR, no-RRXR, no-RRRX, no-XBBB, no-BXBB, etc., then I sweep through the matrix using the next weakest criteria... no-XBRR, noBXRR, no-BBXR, no-BBRX, no-XRBB, no-RXBB, etc. for a total of 32 sweeps until the computer fills in the coloring automatically. I've noticed that there's a possible candidate per every 400 matrices out of a total 12780, and it takes .95 hours to find the candidate or 1 per every 8.644 seconds. It's coming along, but I don't have much time to program it... as I work full-time. We should work together... I could use the $289.00!

— William Bouris
джерело

Bill Gasarch should only be paying out $128.

— William Bouris

sorry about that... 272/2 or $136

— William Bouris

4

This is not an answer to the question. best as a comment.

— Suresh Venkat