Твердість наближення дробового хроматичного числа на графіках обмежених ступенів

Чи apx-важко наблизити дробове хроматичне число на обмежених градусних градусах?

Що таке дробове хроматичне число?

— Мохаммед Аль-Туркстані

@ MohammadAl-Turkistany: LP-релексія хроматичного числа, див., Наприклад, en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring

— Jukka Suomela

Так.

Якщо я правильно зрозумів, доказ теореми 1.6 в Хоті (2001) встановлює, що НР важко розрізнити наступні два випадки, навіть якщо ми зосередимось на графіках обмеженого ступеня досить високого ступеня:

Існує -кольорова фарба. $k$
Відношення кількості вершин до максимального розміру незалежної множини становить не менше . $k^{\log(k)/25}$

З точки зору дробового хроматичного числа ці два випадки:

Дробове хроматичне число становить не більше . $k$
Дробове хроматичне число становить щонайменше . $k^{\log(k)/25}$

Тепер ми повинні пам’ятати, що нам потрібні досить високі ступені (як функція ). Наскільки я бачу, доказ має, наприклад, такі зручні наслідки, які вже можуть бути достатніми для ваших цілей: $k$

Враховуючи будь-яку постійну , існують константи і такі, що в NP-жорсткому є наступна проблема: заданий графік максимального ступеня , вирішити, чи є дробове хроматичне число щонайбільше або принаймні . $\alpha$ $\Delta$ $c$ $G$ $\Delta$ $G$ $c$ $\alpha c$

Звичайно, це вже означає, що PTAS не існує, якщо тільки P = NP.

— Юкка Суомела
джерело

Безумовно, в останньому слідстві є деякі інші модифікатори на константи, інакше це дуже добре відомо невеликими значеннями

...

Δ

$\Delta$

c_{1}

$c_1$

c_{2}

$c_2$

— Ендрю Д. Кінг

@ AndrewD.King: Правильно, ви можете зробити будь-який з них довільно великим і т. Д. Але, можливо, ви можете опублікувати відповідь, яка показує, що просту версію наслідків можна отримати, використовуючи старіші та простіші методики - я думаю, це вже було б достатньо, щоб відповісти на питання ОП?

— Юкка Суомела

k

$k$

Δ

$\Delta$

c_{1}

$c_1$

c_{2}

$c_2$

k c_{1} < c_{2}

$kc_1<c_2$

@ AndrewD.King: Так, я відредагую відповідь; сподіваємось, це матиме більше сенсу. :)

— Jukka Suomela