Монотонні арифметичні схеми

Стан наших знань про загальні арифметичні схеми схоже на стан наших знань про булеві ланцюги, тобто у нас немає хороших нижніх меж. З іншого боку, ми маємо нижню межу експоненціальної величини для монотонних булевих схем .

Що ми знаємо про монотонні арифметичні схеми? Чи є у нас подібні хороші нижчі межі для них? Якщо ні, то яка суттєва різниця, яка не дозволяє нам отримати подібні нижні межі для монотонних арифметичних схем?

Питання натхнене коментарями до цього питання .

Нижні межі для монотонних арифметичних схем стають простішими, оскільки вони забороняють скасування. З іншого боку, ми можемо довести , експоненціальні нижні оцінки для схем обчислення булевих функцій , навіть якщо монотонна речова функції допускаються в якості воріт (дивись , наприклад , розділ 9.6 ст. Книзі ).$g:R\times R\to R$

$a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$( + , макс. $(+,\min)$$(+,\max)$. Потім ворота відповідають підпроблемам, які використовуються алгоритмом. Що насправді доводить Джеррум і Снір (у статті V Vinay) - це те, що будь-який алгоритм DP для відповідності мінімальної ваги (як і для проблеми TSP) повинен створювати експоненціально багато підпроблем. Але проблема Perfect Mathching не в тому, що вона є "влучною" (вона не задовольняє принципу оптимальності Беллмана ). Лінійне програмування (не DP) набагато більше підходить для цієї проблеми.

То як щодо проблем оптимізації, які можна вирішити за допомогою досить невеликих алгоритмів DP - чи можемо ми довести нижчі межі також для них? Дуже цікавим у цьому відношенні є старий результат Керра (теорема 6.1 у його доповіді ). Це означає, що класичний алгоритм Floyd-Warshall DP для задачі All Pairs Shortest Paths (APSP) є оптимальним : підпроблеми необхідні. Ще цікавіше те, що аргумент Керра дуже простий (набагато простіший, ніж використовували Джерум і Снір): він просто використовує аксіому розподілу , а також можливість "вбити" min-Gates, встановивши один із його аргументів на Цим чином він доводить, щоa + min ( b , c ) = min ( a , b ) + min ( a , c ) 0 n 3 n × n ( + , min $\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$плюс-ворота необхідні для множення двох матриць через семірування . У секті. 5.9 книги Ахо, Хопкрофта та Уллмана показано, що ця проблема еквівалентна проблемі APSP.$n\times n$$(+,\min)$

Наступним питанням може бути: що з проблемою єдиних джерел найкоротших шляхів (SSSP)? Алгоритм Bellman-Ford DP для цієї (здавалося б, "простішої") проблеми також використовує ворота . Це оптимально? Поки що не відома поділ між цими двома версіями проблеми найкоротшого шляху; див. цікавий документ Вірджинії та Райана Вільямса. Отже, нижня межа в -схемах для SSSP була б чудовим результатом. Наступне питання може бути: як щодо нижчих меж для Рюкзака? У цьому проекті нижні межі для Рюкзака довели в слабшій моделі схем, де використанняΩ ( n 3 ) ( + , min ) ( + , max ) $O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-гати обмежені; у Додатку відтворено доказ Керра.

Так. Ми знаємо хороші нижні межі, і ми їх знаємо вже досить давно.

Джеррум і Снір виявили експоненціальну нижню межу над монотонними арифметичними схемами для постійних до 1980 року. Валіант показав, що навіть один мінус ворота є експоненціально більш потужним .

Детальніше про (монотонні) арифметичні схеми ознайомтеся з опитуванням Шпілки щодо арифметичних схем.

Інший результат , який я знаю це по Арвінд, Joglekar і Шрінівасану - вони представляють явні многочлени вичіслімого лінійних розмірів width- монотонних арифметичних схем , але будь-яка width- монотонної арифметична схемою буде вважати експонентний розміром.$2k$$k$

Чи враховує це: нижня межа напівгрупи Chazelle для фундаментальних проблем пошуку в діапазоні (в режимі офлайн). Усі нижні межі майже оптимальні (до термінів журналу, коли нижні межі є поліноміальними, а умови журналу журналу, коли нижня межа є полілогіармічними).