Заборонені неповнолітні для обмежених графіків ширини

Це питання схоже на одне з моїх попередніх питань. Відомо, що - заборонений мінор для графіків широкої ширини не більше t .$K_{t+2}$$t$

Чи є добре сконструйоване, параметризоване, нескінченне сімейство графіків (крім повних графіків та сіткових графіків), які є мінімальними забороненими неповнолітніми для графіків кожної широкої ширини. Іншими словами, чи існує явний графік на вершинах r (який не є повним графіком) таким, що G r є забороненим другорядним для графіків широкої ширини не більше r , де r - функція t ?$G_r$$r$$G_r$$r$$r$$t$

Повні набори заборонених неповнолітніх відомі за графіками широкої ширини не більше трьох. Дивіться цю статтю у Вікіпедії для більш детальної інформації.

Чи відомий повний набір заборонених неповнолітніх графіків широкої ширини не більше чотирьох?

Якщо G утворений з меншого графіка H, що не є клікою, додаючи дві вершини x і y, такі, що x і y не сусідять одна з одною, а сусідять з усіма іншими вершинами G, то . Бо в будь-якому деревному розкладі G або x і y мають розрізнені підтрубки, або вони мають перекриваючі підтрубки. Якщо вони мають непересічні підтрупки, всі інші підкресли повинні включати найкоротший шлях між деревами для x та y , з якого випливає, що ширина ширини n - $tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$$n-2$; припущення, що не є клікою, може бути використане, щоб показати, що n - 2 ≥ t w ( H ) + 2 . Альтернативно, якщо x і y мають підряди, що перекриваються, кожна інша вершина повинна мати підкреслене дерево, яке торкається перетину двох підрядів x і y , і ми можемо обмежити розклад дерева до цього перетину, даючи розкладання дерева, в якому x і y брати участь у кожному вузлі дерева.$H$$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$$x$$y$

Це означає, що гіпероктаедричний графік з 2 к вузлами є мінімально забороненим мінором для ширини 2 k - 3 . Бо восьмигранний графік K 2 , 2 , 2 є мінімально забороненим другорядним для ширини три, з чого з наведеного вище аргументу видно, що гіпероктаедричний графік має ширину 2 k - $K_{2,2,2,\dots}$$2k$$2k-3$$K_{2,2,2}$$2k-2$. І якщо будь-яке стиснення ребер або видалення ребра виконується в гіпероктаедральному графіку, симетрії графіка дозволяють припустити, що операція відбувається з одним із дванадцяти ребер у базовому октаедрі, викликаючи його ширину і ширину всіх гіпероктаедрів побудований з нього для зменшення.

(Інший клас графіків, який ви повинні включати до свого запитання разом із повними графами, - це сітчасті графіки. Сітка має ширину ширини r . Вона є окремою від неповнолітніх повних графів, оскільки її площинна і тому не має повного другорядного та більше ніж чотири вершини. Однак це не мінімально заборонені мінори, оскільки деякі невеликі зміни (наприклад, стискання кутових вершин) не змінюють його широту ширини.)$r\times r$$r$

У " Рідких перешкодах" та точному визначенні широти ширини Лусена зазначає, що в кандидатській дисертації Сандерса " наведено 75 або менше мінімальних заборонених неповнолітніх для ширини ширини , і вважається, що не доведено, що це може становити весь набір перешкод".$\leq 4$