Розв’язування суперструнних рівно

Що відомо про точну складність найкоротшої проблеми суперструнних? Чи можна її розв’язати швидше, ніж $O^*(2^n)$ ? Чи існують відомі алгоритми, які вирішують найкоротші суперструни без зменшення до TSP?

UPD: пригнічує поліноміальні фактори.$O^*(\cdot)$

Найкоротша проблема суперстрінгів - це проблема, відповідь якої - найкоротша рядок, яка містить кожну рядок із заданого набору рядків. Питання полягає в розширенні оптимізації відомої проблеми NP-hard Shortest Superstring (Garey and Johnson, p.228).

Якщо припустити, що струни мають поліном довжини в , то так, принаймні 2 n - Ω ( $n$часове рішення. Причиною є добре відоме скорочення від найкоротшої загальної задачі суперструбних до ATSP з цілими вагами з величиною поліномів, яку ви, в свою чергу, можете вирішити шляхом поліноміальної інтерполяції, якщо зможете порахувати гамільтонові цикли у спрямованому мультиграфі. Остання задача має2n-Ω($2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$часове рішення. Björklund 2012$2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$

Зменшення від ATSP з вагами для кожної пари вершин u , v до підрахунку гамільтонівського циклу відбувається наступним чином:$w_{uv}$$u,v$

Для , де w сума - це верхня межа всіх сум n ваг в екземплярі ATSP, побудуйте один графік G r, де ви заміните кожну вагу w u v на r w u v дуги на u до v .$r=1,2,\cdots,w_\mbox{sum}$$w_\mbox{sum}$$n$$G_r$$w_{uv}$$r^{w_{uv}}$$u$$v$

Вирішуючи підрахунок гамильтонов цикл для кожного , можна з допомогою поліноміальної інтерполяції побудувати многочлен Х ш суми л = 0 л г л з в л дорівнює числу TSP турів в первісному графіку ваги л . Отже місцезнаходження найменше л таке , що л ненульова вирішує проблему.$G_r$$\sum_{l=0}^{w_\mbox{sum}} a_lr^l$$a_l$$l$$l$$a_l$

Я вивчив проблему і знайшов деякі результати. Найкоротші загальні суперструнні (SCS) можуть бути вирішені за час лише з поліноміальним простором ( Кон, Готліб, Кон ; Карп ; Бакс, Франклін ).$2^n$

Найвідоміший наближення - (Палух).$2\frac{11}{30}$

Найвідоме наближення стиснення - (Палух).$3\over4$

Якщо SCS можна наблизити до коефіцієнта над двійковим алфавітом, то він може бути наближений коефіцієнтом α над будь-яким алфавітом ( Василевська-Вільямс ).$\alpha$$\alpha$

SCS не можна наблизити із співвідношенням, кращим за якщо P = NP ( Карпінський, Шмід ).$1.0029$

Максимальне стиснення не можна наблизити зі співвідношенням, кращим за якщо P = NP ( Карпінський, Шмід ).$1.0048$

Буду вдячний за будь-які доповнення та пропозиції.

Ось найкоротша проблема суперструнних: вам надається рядків s 1 , … , s n над деяким алфавітом Σ, і ви хочете знайти найкоротший рядок над Σ, який містить кожне s i як послідовність послідовних символів, тобто підрядку.$n$$s_1,\ldots, s_n$$\Sigma$$\Sigma$$s_i$

Коли ми говоримо про точні алгоритми задачі, то знаходження довжини найкоротшого суперрядка еквівалентно знаходженню максимального стиснення C, що є сумою всіх послідовних перекриттів рядків у підсумковій суперрядці, тобто C = ∑ i | s i | - L .$L$$C$$C=\sum_i |s_i|-L$

Наскільки мені відомо, найшвидший точний алгоритм для найкоротших суперструнних запускається в ( 2 n ), де n - кількість рядків. Це простий алгоритм динамічного програмування, подібний до алгоритму динамічного програмування для найдовшого шляху (та інших проблем):$O^*$$2^n$$n$

Для кожної підмножини рядків і рядка v в S ми обчислюємо максимальне стиснення над усіма надрядками над S, де v - перша рядок, що з’являється у надструнній, зберігаючи це як C (( v , S )). Ми робимо це, спочатку обробляючи всі підмножини лише одним елементом, а потім нарощуючи значення C (( v , S )) для підмножини S на k рядках з тих, що мають на k - 1 рядках. Конкретно:$S$$v$$S$$S$$v$$v,S$$v,S$$S$$k$$k-1$

Для кожного рядка ми дивимось всі підмножини S ′ на k - 1 рядки, які не включають u, і встановлюємо значення для ( u , u ∪ S ′ ) максимальним за рядками v в S ′ суми максимальної перекриття u з v з C (( v , S ′ )).$u$$S'$$k-1$$u$$u,{u}\cup S'$$v$$S'$$u$$v$$v,S'$

Кінцевий час виконання не більше O ( ), де l - максимальна довжина рядка.$n^2 2^n + n^2 l$$l$

Є кращі алгоритми, якщо ви припускаєте, що малий або парне перекриття мале, розмір алфавіту невеликий і т. Д., Але мені невідомий жоден алгоритм, який швидше 2 n .$l$$2^n$