Що в PID-контролі представляють полюси та нулі?

Щоразу, коли я читаю текст про управління (наприклад, PID-контроль), він часто згадує "полюси" та "нулі". Що вони означають під цим? Який фізичний стан описує полюс чи нуль?

$T(\mathbf{x})$

$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

Полюси і нулі дозволяють нам зрозуміти, як система реагуватиме на різні входи. Нулі цікаві своєю здатністю блокувати частоти, тоді як полюси надають нам інформацію про стабільність системи. Як правило, ми побудуємо полюси та нулі в складному площині і говоримо, що система є обмеженим входом з обмеженим входом (BIBO) стабільною, якщо полюси розташовані в лівій половині комплексної площини (LHP - Left Half Plane).

Нарешті, коли ми проектуємо контролер, ми фактично маніпулюємо його полюсами та нулями, щоб досягти конкретних конструктивних параметрів.

Ці функції перенесення многочленів виникають, коли ви виконуєте перетворення Лапласа на деякому лінійному диференціальному рівнянні, яке фактично описує вашого робота, або є результатом лінеаризації динаміки робота в деякому бажаному стані. Подумайте про це як про "розширення Тейлора" навколо цього стану.

Перетворення Лапласа - це узагальнення перетворення Фур'є на функції, які не є періодичними. В електротехніці перетворення Лапласа трактується як представлення системи в частотній області , тобто описується, як система передає будь-які частоти від вхідного сигналу. Потім нулі описують частоти, які не передаються. І як вже зазначав DaemonMaker, полюси важливі при розгляді стабільності системи: Передавальна функція системи переходить до нескінченності поблизу полюсів.

Що вони означають у контексті контролю:

Полюси : Вони говорять вам, чи система (яка також може бути новою системою, в яку ви вставили цикл зворотного зв'язку із законом управління) є стабільною чи ні. Зазвичай ви хочете, щоб система була стабільною. Отже, ви хочете, щоб усі полюси системи знаходилися в лівій половинній площині (тобто реальні частини полюсів повинні бути меншими за нуль). Полюси - це власні значення матриці вашої системи . Наскільки вони знаходяться в лівій півплощині, говорить про те, як швидко система переходить у стан спокою. Чим далі вони віддалені від уявної осі, тим швидше сходиться система.

Нулі : Вони можуть бути зручними, якщо у вас є полюс в правій половинній площині або все ще знаходиться в лівій половині площини, але занадто близько до уявної осі: Розумною модифікацією вашої системи ви можете перенести нулі на небажані полюси, щоб знищити їх .

Я не можу реально говорити за нулі функції передачі, але полюси функції передачі, безумовно, мають змістовну інтерпретацію.

Щоб зрозуміти цю інтерпретацію, ви повинні пам’ятати, що система, якою ми хочемо керувати, насправді одна з двох речей: або диференціальне рівняння, або різницеве рівняння. У будь-якому випадку загальним підходом до розв’язання цих рівнянь є визначення їх власних значень. Що ще важливіше, коли система лінійна, власні значення диференціального / різницького рівняння точно відповідають полюсам функції передачі. Отже, отримуючи полюси, ви дійсно отримуєте власні значення початкового рівняння. Саме власні значення вихідного рівняння (на мою думку) справді визначають стабільність системи; просто дивовижний збіг обставин, що полюси лінійної системи є саме власними значеннями вихідного рівняння.

Для ілюстрації цього розглянемо два випадки окремо:

Випадок 1: диференціальне рівняння

$x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$$Re(\lambda)\ge 0$$e^{\lambda t}$

Випадок 2: рівняння різниці

$x_t=C\lambda^t$$\lambda$ $x_t\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$$|\lambda|<1$$|\lambda|\ge 1$$\lambda^t$

У будь-якому випадку полюси системної функції та власні значення (однорідного) диференціального / різницького рівняння - це саме те саме! На мій погляд, для мене є більш розумним трактування полюсів як власних значень, оскільки власні значення пояснюють стан стійкості більш природним чином.