Чи гарантує RRT * асимптотична оптимальність для показника мінімальної вартості очищення?

Оптимальною вибірки на основі алгоритму планування руху (описаний в даній роботі ) було показано , що вихід без зіткнень шляхів , які сходяться до оптимальної траєкторії , як час планування збільшується. Однак, наскільки я бачу, докази оптимальності та експерименти передбачають, що показник вартості шляху є евклідовою відстані в конфігураційному просторі. Може також дає властивість оптимальності для інших метрик якості шляху, таких як максимізація мінімального зазору від перешкод по всьому шляху? $\text{RRT}^*$ $\text{RRT}^*$

Для визначення мінімального зазору: для простоти ми можемо розглянути точковий робот, який рухається навколо в евклідовому просторі. Для будь-якої конфігурації яка знаходиться в просторі конфігурації без зіткнення, визначте функцію яка повертає відстань між роботом і найближчою С-перешкодою. Для шляху мінімальний кліренс - це мінімальне значення для всіх . При оптимальному плануванні руху можна було б досягти максимального відстані від перешкод на шляху. Це означатиме визначення певних показників витрат $q$ $d(q)$ $\sigma$ $\text{min_clear}(\sigma)$ $d(q)$ $q \in \sigma$ таким, що збільшується зі зменшенням мінімального зазору. Однією простою функцією було б . $c(\sigma)$ $c$ $c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$

У першій папероробної введення , кілька допущення про вартість шляху метрики , так що докази проведення; одне з припущень стосувалося адитивності показника витрат, яка не відповідає вказаній вище метриці розмитнення. Однак в останній статті журналу, що описує алгоритм, кілька попередніх припущень не були перелічені, і здавалося, що показник мінімальної вартості очищення також може бути оптимізований алгоритмом. $\text{RRT}^*$

$\text{RRT}^*$

— giogadi
джерело

Я не знайомий із показником мінімальної вартості оформлення, хоча за його назвою я отримую загальне уявлення. Це конкретна функція чи клас функцій?

— DaemonMaker

Хороше запитання: оскільки показник змінюється залежно від робота, припустимо, що ми дивимось на голономічну точку робота, що рухається навколо в евклідовому просторі. У будь-якій конфігурації q у нас є функція d (q), яка повертає відстань між точковим роботом і найближчою С-перешкодою. Тому для контуру в просторі конфігурації мінімальний кліренс всього шляху є мінімальним значенням d (q) для всіх q на шляху.

— giogadi

Мета-питання: коли мені рекомендується редагувати оригінальне запитання із уточненнями, які були прописані в коментарях та інших відповідях?

— giogadi

Це хороше мета-запитання і отримало б більше відповідей у мета-робототехніка Robotics . ;) Однак, як правило, добре для редагування питання редагувати питання. Я особливо рекомендую робити це, коли отримані відповіді не узгоджуються із заданим питанням.

— DaemonMaker

Відповіді:

$a|b$ $a$ $b$ $c(\cdot)$ $c(a|b)=min(c(a),c(b))$

Ви посилаєтесь на (у посиланні 1):

$\sigma_1$ $\sigma_2$ $\in X_{free}$ $c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

Що стало (у посиланні 3, проблема 2):

$\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

Що досі не стосується мінімальної відстані зазору.

Оновлення: Враховуючи послаблене обмеження витрат на дорогу, запропонований досвід (-min_clearance) здається нормальним.

— Джош Вандер Хук
джерело

Ваша відповідь дала мені зрозуміти, що показник, як я його описав, насправді невдалий. Ми, як правило, хочемо МАКСИМІЗУВАТИ мінімальний зазор через шлях, тому насправді вартість шляху повинна ПІСЛЯГАТИ як мінімальний кліренс шляху. Перша функція вартості, яку я маю на увазі для цього, це c (sigma) = 1 / min_clearance (sigma), але це залишає функцію невизначеною на межах перешкод, і я вважаю, що RRT * вимагає закриття Q_free для того, щоб докази працювали . Якщо заборонити межу, це нове значення вартості буде монотонним, як цього вимагає доказ.

— giogadi

Я припускаю, що проста функція витрат, яка уникає межового питання, може бути c (sigma) = -min_clearance (sigma), але я не впевнений, що може мати негативна метрика для інших частин докази RRT * ...

— giogadi

\geq

$\geq$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

δ

$\delta$

X_{f r e e}

$X_{free}$

Ще одна можлива метрика: c (sigma) = exp (-min_clear (sigma))

— giogadi

Мені найкраще подобається функція експоненціальних витрат.

— Джош Вандер Хук

У попередній відповіді ми дійшли згоди, що функція витрат визначена як

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

буде задовольняти властивості, необхідні для RRT *, щоб отримати асимптотичну оптимальність за цим показником.

Однак, переглядаючи статтю IJRR, яка описує RRT *, ця функція витрат технічно не відповідає припущенням, викладеним у статті. Зокрема, ця функція витрат порушує властивість обмеженості , визначену як:

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

$\text{TV}(\sigma)$

$\sigma_0$ $q$ $\sigma_0$ $c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

Цікаво, чи RRT * просто не дасть асимптотично оптимальних рішень за такої функції витрат, або якщо це все ще може, але можливо, ці припущення спростили докази оптимальності в роботі.

— giogadi
джерело