Кілька контурів управління з ефектами перекриття

Мені знайоме використання PID для виконання керування замкнутим циклом, коли є один вихід і єдиний сигнал про помилку для того, наскільки вдало вихід досягає потрібної заданої точки.

Припустимо, однак, існує кілька циклів управління, кожна з яких має один вихідний і один сигнал помилки, але петлі не є повністю незалежними. Зокрема, коли одна петля збільшує свій привідний сигнал, це змінює вплив виходу з інших циклів у системі.

Для конкретного прикладу уявіть джерело напруги послідовно з резистором, подаючи напругу в системі з шести регульованих резисторів паралельно. Ми можемо вимірювати струм через кожен резистор, і ми хочемо незалежно контролювати струм кожного резистора, регулюючи опір. Звичайно, хитрість тут полягає в тому, що коли ви регулюєте опір одного резистора, він змінює загальний опір паралельного набору, а це означає, що він змінює падіння напруги за рахунок дільника на опір джерела напруги і, отже, змінює струм через інші резистори .

Тепер, очевидно, у нас є ідеальна модель для цієї системи, тому ми можемо передбачити, який опір нам слід використовувати для всіх резисторів одночасно, вирішуючи набір лінійних рівнянь. Однак вся суть управління закритим циклом полягає в тому, що ми хочемо виправити різні невідомі помилки / ухили в системі, які відхиляються від нашої ідеальної моделі. Тоді питання: який хороший спосіб здійснити управління замкнутим циклом, коли у вас є модель з таким видом перехресних з’єднань?

control pid

— Ден Брайант
джерело

Як правило , з м есколько я Nput, м есколько про utput (MIMO) , системи, інженер управління використовує контролер стану зворотного зв'язку . Цей стиль контролера використовує модель простору стану та системи і, як правило, приймає форму:

\dot{х} = А х + Б у у = С х + D у

$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

де $x$ - вектор станів, $u$ - вектор вхідних даних, $y$ є вектором результатів і часовою похідною станів, $\dot{x}$ , показує, як стани розвиваються в часі, що визначається комбінаціями станів $\mbox{A}$ та входи $\mbox{B}$ . Виходи також визначаються взаємодією між станами та входами, але виходи можуть бути будь-якими комбінаціями, тому матриці стану виходу та вхідні матриці різні - $\mbox{C}$ і $\mbox{D}$ .

Я не буду заглиблюватися у велику кількість деталей щодо контролю зворотного зв’язку стану, але в цілому матриць $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$ "карта" або асоціювати певний стан або вхід до іншого стану або вводу. Наприклад, якщо ви хочете моделювати систему непов'язаних диференціальних рівнянь, ви отримаєте щось на зразок:

\dot{х} = [\begin{array}{ccc} {\dot{х}}_{1} \\ {\dot{х}}_{2} \\ {\dot{х}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} к_{1} & 0 & 0 \\ 0 & к_{2} & 0 \\ 0 & 0 & к_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} х_{1} \\ х_{2} \\ х_{3} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]$ що являє собою:

{\dot{х}}_{1} = к_{1} х_{1} {\dot{х}}_{2} = к_{2} х_{2} {\dot{х}}_{3} = к_{3} х_{3}

$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\$

Якщо ви хочете додати вхід $u_1$ до рівняння для $\dot{x}_1$ і вхід $u_2$ до $\dot{x}_3$ , тоді ви можете додати $\mbox{B}u$ термін:

\dot{х} = [\begin{array}{ccc} {\dot{х}}_{1} \\ {\dot{х}}_{2} \\ {\dot{х}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} к_{1} & 0 & 0 \\ 0 & к_{2} & 0 \\ 0 & 0 & к_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} х_{1} \\ х_{2} \\ х_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} у_{1} \\ у_{2} \end{array}]

Якщо ви хочете зберегти це, але ви вважаєте, що такий стан $x_1$ сприяє тому, як $x_2$ зміни, ви можете додати цю взаємодію:

\dot{х} = [\begin{array}{ccc} {\dot{х}}_{1} \\ {\dot{х}}_{2} \\ {\dot{х}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} к_{1} & 0 & 0 \\ к_{х_{1} \to х_{2}} & к_{2} & 0 \\ 0 & 0 & к_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} х_{1} \\ х_{2} \\ х_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} у_{1} \\ у_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

Коли ви пишете їх зараз, ви отримуєте:

\begin{matrix} {\dot{х}}_{1} & = & к_{1} х_{1} + у_{1} \\ {\dot{х}}_{2} & = & к_{х_{1} \to х_{2}} х_{1} + к_{2} х_{2} \\ {\dot{х}}_{3} & = & к_{3} х_{3} + у_{2} \end{matrix}

$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$

Ви можете продовжувати нарощувати складність, як вимагає ваша система. Коли у вас є модель, для управління зворотним зв'язком стану потрібно переконатися, що система лінійна , що система не має триггерних функцій або один стан, що множує себе чи інший стан, і переконайтесь, що вона інваріантна , в тому, що матриці $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$ не змінюються з часом - немає в них функції (t). Можливо, ви зможете зробити деякі спрощення, наприклад, наближення невеликого кута, щоб допомогти вам отримати $\mbox{A}$ матрицю у форму LTI, необхідну для наступного кроку.

Тепер ви можете "замаскувати" всю систему в спочатку показані акуратні рівняння, приховавши всю $\mbox{A}$ матриця з просто літерою "A" і т. д. За допомогою перетворення Лапласа ви можете (ручним хвилею) оцінювати неконтрольовану динаміку відкритого циклу системи. Ви робите це, знаходячи полюси системи , які в терміні означають реакцію системи.

Ви також можете оцінити систему, щоб побачити, чи вона керована , це означає, що ви можете використовувати свої входи, щоб змінити всі стани унікальним чином, і побачити, чи вона спостерігається , це означає, що ви можете фактично визначити, які значення значень держави є.

Якщо система керована, ви можете взяти інформацію про стани, $-\mbox{G}x$ , і подайте їх у систему, використовуючи інформацію, яку ви маєте про штати, щоб привести їх до потрібного значення. Використовуючи для ясності лише два початкових рівняння, додаючи сигнал керування на отриманий вхід:

\dot{х} = А х + Б (у - Г х) у = С х + D у

$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

що стає:

\dot{х} = А х - BG х + Б у у = С х + D у

$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

який можна переставити як:

\dot{х} = [А - BG] х + Б у у = С х + D у

$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

Куди раніше, ніж відповідь системи, керував $\mbox{A}$ матриця, тепер він керується $\mbox{A-BG}$ . Ви можете знову оцінити полюси за допомогою трансформації Лапласа, але тепер у вас є матриця посилення $\mbox{G}$ Ви можете використовувати для налаштування контролера, розміщуючи полюси куди завгодно, що встановлює відповідь часу тим, що ви хочете.

Процес триває, спостерігачі налаштовуючи щоб порівняти фактичний вихід системи $y$ з прогнозованим виходом моделі $\hat{y}$ . Тут важливо відзначити, що виходи не повинні бути такою ж комбінацією станів, як ви використовуєте в диференційному рівнянні стану - там, де ваші стани можуть бути поточними, ваш вихід може бути напругою ( $R\times I$ ), тож ви можете зробити порівняння з вимірюваним сигналом у вашій реальній системі.

Як я вже сказав, є тонни інформації , яка бере участь в моделюванні систем і розробці державних контролерів зворотного зв'язку, я тільки що виклали загальний процес , як я вважаю , що це сфера ви шукали з вашим питанням.

— Чак
джерело

Дякую, це відмінна основа для деяких подальших досліджень.

— Дан Брайант

чудова відповідь, tl; dr; скалярні значення, що описують систему SISO, стають матрицями для системи MIMO, "перехресне зчеплення" можна побачити в позадіагональних значеннях в матрицях.

— Згинання підрозділу 22