Чи є спосіб зробити "подвійну попередню підготовку"

15

Питання:

Припустимо, що у вас є два різні передумови для симетричної позитивної визначеної матриці : і де обернення факторів легко застосувати. $A$

А \approx Б^{Т} Б

$A \approx B^TB$

А \approx С^{Т} С,

$A \approx C^TC,$

B, B^{T}, C, C^{T}

$B, B^T, C, C^T$

Коли можна використовувати інформацію як і для створення кращого попереднього кондиціонера, ніж одного або ? $B$ $C$ $B$ $C$

— Нік Алгер
джерело

13

Можна використовувати добавку

П_{а}^{- 1} х = (Б^{Т} Б)^{- 1} х + (С^{Т} С)^{- 1} х,

$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$

мультиплікативний

П_{м}^{- 1} х = (Б^{Т} Б)^{- 1} х + (С^{Т} С)^{- 1} (х - А (Б^{Т} Б)^{- 1} х),

$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$

або симетричний мультиплікативний. Методи цього класу доступні в PETSc, використовуючи PCCOMPOSITE в PETSc. Наприклад,

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

Посібник користувача має розділ "Комбінування попередніх кондиціонерів".

— Джед Браун
джерело

Відмінно, дякую! Чи знаєте ви будь-яку теорію чи документи, які обговорюють умови, за яких ці комбінації були б ефективними чи неефективними, чи це просто багато спроб та помилок?

— Нік Алгер

Як і у випадку з усією попередньою умовою, аналіз проводиться з точки зору спектру попередньо обумовленого оператора, який часто виражається через узагальнену задачу про власне значення. Інтуїтивно зрозуміло, що якщо кожен попередній кондиціонер спрямований на різні процеси або різні частини спектру, метою комбінації є виправлення обох частин. Більшість успішних підходів цього класу ґрунтуються на корекції підпростору, що включає в себе мультисетку, декомпозицію домену та поділ поля (література для кожного). PETSc має більш спеціалізовані передумови для виявлення паралелізму або повторного використання проміжних результатів у цих випадках.

— Джед Браун

1

Окрім чудової відповіді Джеда, останнім часом я знайшов метод перемикання між попередніми кондиціонерами на кожен інший крок у гнучкому GMRES (FGMRES), як це робиться, наприклад, у

Тездуяр, ТЕ та ін. "Новий змішаний метод попередньої кондиціонування для обчислень кінцевих елементів." Комп'ютерні методи в галузі прикладної механіки та техніки 99.1 (1992): 27-42. http://repository.ias.ac.in/24680/1/320.pdf

— Нік Алгер
джерело