Недоліки загальних схем дискретизації для моделювання CFD

Днями мій інструктор з обчислювальної динаміки рідини був відсутній, і він направив свого кандидата кандидатів наук на заміну. У своїй лекції він, схоже, вказав на кілька недоліків, пов'язаних з різними схемами дискретизації для моделювання потоку рідини:

Метод скінченної різниці: важко задовольнити збереження та застосувати неправильну геометрію

Метод кінцевого обсягу: він має тенденцію бути упередженим до ребер та одновимірної фізики.

Метод кінцевих елементів: важко вирішити гіперболічні рівняння за допомогою FEM.

Переривчастий Галеркін: Це найкращий (і найгірший) з усіх світів.

Розщеплення флуктуації: вони ще не широко застосовуються.

Після лекції я спробував його запитати, звідки у нього ця інформація, але він не вказав джерела. Я також намагався змусити його роз'яснити, що він мав на увазі під впливом ГД як "найкращий і найгірший з усіх світів", але не зміг отримати чіткої відповіді. Я можу лише припустити, що він дійшов до цих висновків із власного досвіду.

З власного досвіду я можу лише підтвердити перше твердження, що FDM важко застосувати до неправильної геометрії. Для всіх інших претензій я не маю достатнього досвіду, щоб перевірити їх. Мені цікаво, наскільки точні ці недоліки для моделювання CFD в цілому.

Запропоновані характеристики є розумними в тому сенсі, що вони приблизно представляють думку людей Це питання має масштабний обсяг, тому я зараз лише кілька зауважень. Я можу деталізувати у відповідь на коментарі. Для більш детальної пов'язаної дискусії див. Які критерії вибору між кінцевими різницями та кінцевими елементами?

• Консервативні методи кінцевих різниць низького порядку легко доступні для неструктурованих сіток. Інша осцилююча методи FD - інша справа. У схемах WENO з кінцевою різницею фізика з'являється в розщепленні потоку, яке доступне не для всіх рішень Рімана.

• Методи кінцевого обсягу працюють чудово в декількох вимірах, але для того, щоб перейти вище другого порядку для структур загального потоку, вам потрібні додаткові точки квадратури та / або поперечні рішення Рімана, що значно збільшує вартість відносно методів FD. Однак ці методи FV можуть застосовуватися до негладких і неструктурованих сіток і можуть використовувати довільні рішучі Рімана.

• Методи безперервних кінцевих елементів можуть використовуватися для CFD, але стабілізація стає делікатною. Зазвичай не застосовувати суворо коливальні методи, а стабілізація часто потребує додаткової інформації, наприклад ентропії. Коли використовується послідовна матриця маси, явний крок часу стає значно дорожчим. Безперервні методи Галеркіна не є локально консервативними, що спричиняє проблеми для сильних потрясінь. Дивіться також Чому місцева охорона важлива при вирішенні PDE?

• Переривчасті методи Галєркіна можуть використовувати будь-які рішучі Рімана для з'єднання елементів. Їм властиві кращі властивості нелінійної стійкості, ніж інші поширені методи. Генеральний директор також досить складний у здійсненні і, як правило, не є одноманітним усередині елемента. Для ГД є обмежувачі, які забезпечують позитивність або принцип максимальності.

• Є й інші методи, такі як Спектральна різниця (наприклад, Wang et al 2007 або Liang et al 2009 ), які мають потенціал бути дуже ефективними (наприклад, Кінцева різниця), одночасно володіючи більшою геометричною гнучкістю та високою точністю замовлення.

Потоки високого числа Рейнольдса мають тонкі граничні шари, що потребують високоанізотропних елементів для ефективного вирішення. Для стисливих або майже нестислимих елементів це спричиняє значні труднощі для багатьох дискрецій. Для додаткового обговорення, здебільшого з точки зору методів кінцевих елементів, див. Які просторові дискретизації працюють для несжимаемого потоку з анізотропними прикордонними сітками?

Для стійких проблем привабливим є можливість ефективного використання нелінійної багаторешітки (FAS). Методи FD, FV та DG зазвичай можуть ефективно використовувати FAS, оскільки, грубо кажучи,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

Для методів безперервних кінцевих елементів це співвідношення часто більше 10. Це співвідношення недостатньо для ефективного ФАС з точковими або елементами плавнішими. Необхідно також мати -еліптичну дискретизацію, яку можна використовувати для виправлення дефектів, або іншим чином змінювати багаторешітковий цикл. Для подальшого обговорення див. Чи існує багатосерійний алгоритм, який вирішує задачі Неймана і має коефіцієнт конвергенції незалежно від кількості рівнів? Позитивна відповідь на це дослідницьке питання потенційно може запропонувати ефективний FAS для безперервних кінцевих елементів.$h$

Коротше кажучи для DG:

Наслідком розслаблення вимог до безперервності через межі елементів є те, що кількість змінних у DG-FEM більша, ніж для безперервного аналога для тієї ж кількості елементів.

З іншого боку, через локальну формулювання (з точки зору елементів) ми маємо наступні переваги:

• Нестаціонарні та вихідні умови повністю відокремлюються між елементами. Матриці маси можна перевернути на рівні елементів.
• Легша паралелізація.
• Адаптаційні доопрацювання (h-, p- та к.с.) спрощені - немає потреби в глобальній перенумеруванні вузлів.