-збіжність методу кінцевих елементів, коли права сторона знаходиться лише в

Я знаю, що кусково-лінійне кінцеве наближення елемента $u_h$ з

Δ у (х) = f (х) в U у (х) = 0 на \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$ задовольняє

‖ у - у_{год} ‖_{Н_{0}^{1} (U)} \leq С год ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$ за умови, що досить гладкий і .

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

Питання: Якщо , чи маємо наступну аналогічну оцінку, при якій похідна відводиться з обох сторін: $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

‖ у - у_{год} ‖_{L^{2} (U)} \leq С год ‖ f ‖_{Н^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

Чи можете ви надати посилання?

Думки: Оскільки у нас все ще є , слід отримати можливість конвергенції в . Інтуїтивно це можливо навіть за допомогою постійних функцій. $u\in H^1_0(U)$ $L^2(U)$

— Бананах
джерело

Я думаю, що ви отримаєте

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$ від стандартного трюку Нітше навіть для

u \in H^{1}

$u \in H^1$ . Ви можете знайти це, наприклад, у елементах Braess - Finite.

— кнл

Так , це стандартний трюк Аубін-Нітше (або подвійність ). Ідея полягає у використанні того, що $L^2$ це власний подвійний простір для написання $L^2$ -норма як норма оператора

‖ у ‖_{L^{2}} = \underset{ϕ \in L^{2} ∖ {0}}{суп} \frac{(у, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$ Таким чином, ми маємо оцінити

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$ для довільного

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$ . Для цього ми "піднімаємо"

u - u_{h}

$u-u_h$ до

H_{0}^{1}

$H^1_0$ вважаючи спочатку довільним

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$ рішення

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$ подвійної проблеми

\begin{matrix} (1) & (\nabla ш_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) для усіх v \in Н_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ Використовуючи стандартну регулярність рівняння Пуассона, ми це знаємо

‖ ш_{ϕ} ‖_{Н^{2}} \leq С ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

Вставлення $v=u-u_h\in H^1_0$ в $\eqref{eq1}$ і використання ортогональності Галеркіна для будь-якого кінцевого елемента (у вашому випадку, кусочно-лінійної) функції $w_h$ дає оцінку

\begin{aligned} (ϕ, у - у_{год}) & = (\nabla ш_{ϕ}, \nabla (у - у_{год})) \\ = (\nabla ш_{ϕ} - \nabla ш_{год}, \nabla (у - у_{год})) \\ \leq С ‖ у - у_{год} ‖_{Н^{1}} ‖ ш_{ϕ} - ш_{год} ‖_{Н^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$ Оскільки це справедливо для всіх

w_{h}

$w_h$ , нерівність все-таки справедлива, якщо взяти мінімум за всіма кусочно-лінійними

w_{h}

$w_h$ . Тому ми отримуємо

\begin{matrix} (2) & ‖ у - у_{год} ‖_{L^{2}} = \underset{ϕ \in L^{2} ∖ {0}}{суп} \frac{(у - у_{год}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq С ‖ у - у_{год} ‖_{Н^{1}} \underset{ϕ \in L^{2} ∖ {0}}{суп} \frac{\underset{ш_{год}}{інф} ‖ ш_{ϕ} - ш_{год} ‖_{Н^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ Це Левма Аубіна-Нітше .

Наступним кроком є використання стандартних оцінок помилок для найкращого наближення кінцевих елементів до рівняння Пуассона. З тих пір $u$ є лише в $H^1$ , ми не отримуємо кращої оцінки, ніж

\begin{matrix} (3) & ‖ у - у_{год} ‖_{Н^{1}} \leq \underset{v_{год}}{інф} ‖ у - v_{год} ‖_{Н^{1}} \leq c ‖ у ‖_{Н^{1}} \leq С ‖ f ‖_{Н^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$ Але, на щастя, ми можемо використати той факт

w_{ϕ}

$w_\phi$ має більшу регулярність з правого боку

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$ замість

H^{- 1}

$H^{-1}$ . У цьому випадку ми маємо

\begin{matrix} (4) & \underset{ш_{год}}{інф} ‖ ш_{ϕ} - ш_{год} ‖_{Н^{1}} \leq c год ‖ ш_{ϕ} ‖_{Н^{2}} \leq С год ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$ Вставлення

(3)

$\eqref{eq3}$ і

(4)

$\eqref{eq4}$ в

(2)

$\eqref{eq2}$ тепер дає бажану оцінку.

(Зверніть увагу, що стандартні оцінки вимагають ступеня полінома $k$ наближення скінченного елемента та показник Соболєва $m$ справжнього рішення задовольняють $m<k+1$ , тому цей аргумент не працює для кусково-постійної ( $k=0$ ) наближення. Ми також цим скористалися $u-u_h\in H^1_0$ - тобто, що ми маємо відповідне наближення - що не відповідає дійсності констант.

Оскільки ви попросили довідки: Ви можете знайти твердження (навіть для негативних пробілів Соболєва $H^{-s}$ замість $L^2$ ) у теоремі 5.8.3 (разом із теоремою 5.4.8) в

Сьюзен К. Бреннер та Л. Рідґвей Скотт , МР 2373954 Математична теорія методів кінцевих елементів , Тексти з прикладної математики ISBN: 978-0-387-75933-3.

— Крістіан Класон
джерело

І я можу скористатися нашою блискучою новою функцією цитування :)

— Крістіан Класон

Дякуємо за вашу відповідь, але безперервні функції не вбудовані

H_{0}^{1}

$H^1_0$ чи вони?

— Бананах

Так, вибачте, я погладив там - вони щільні, але не вбудовані. Аргумент подвійності працює, однак, так само (просто працюйте з

H_{0}^{1}

$H^1_0$ і

H^{- 1}

$H^{-1}$ безпосередньо). Я відповідно відредагую свою відповідь.

— Крістіан Класон

Дякуємо за широке оновлення. А для пошуку ще однієї блискучої цитати

— Бананах

@Praveen Я не думаю, що тут вам не потрібна якась теорія. Простий вибір

v_{h}

$v_h$ бути постійним нулем.

— Бананах