Коли слід використовувати неявні методи інтеграції гіперболічних ФДЕ?

Числові методи вирішення PDE (або ODE) поділяються на дві широкі категорії: явні та неявні методи. Неявні методи дозволяють отримати більш стабільні часові кроки, але вимагають більше роботи за крок. Для гіперболічних PDE загальна думка полягає в тому, що неявні методи зазвичай не окупаються, оскільки використання часових кроків, більших, ніж дозволено умовою CFL, призводить до дуже неточних результатів. Однак неявні методи застосовуються в деяких випадках. Як для даної програми слід вибрати, чи використовувати явний чи неявний метод?

Центральне питання полягає в тому, які фізичні процеси (хвилі або терміни джерела) мають масштаби часу, які ви хочете вирішити, і які ви хочете переступити. Якщо вас не цікавить найшвидша шкала часу в системі, то рівняння називаються «жорсткими». Закони про збереження гіперболічної хвороби зазвичай записуються як системи першого порядку

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

де містить збережені змінні, F - потік, а G називається "вихідним терміном". Зверніть увагу , що з цією термінологією, потік F не містить похідних, тому дифузійні і дисперсійні члени повинні йти в G . Досить часто застосовувати неявну або напів неявну інтеграцію, коли терміни джерела жорсткі, як при багатьох проблемах з хімічною реакцією та при дифузії або дисперсії. Хімічну реакцію зазвичай можна неявно вирішувати локально в кожному елементі, оскільки вона не пов'язана з сусідніми клітинами.$u$$F$$G$$F$$G$

$A = [\partial F/\partial u]$

Наприклад, якщо ви імітуєте давню еволюцію океану, вас можуть не зацікавити хвилі поверхневої гравітації (наприклад, цунамі). На жаль, зміна швидкості хвилі (або уповільнення її використання явних методів, або пришвидшення її до моделі "жорсткої кришки", яка може використовувати проекцію) змінює фізику, змінюючи спосіб поширення вихорів. Вихри в океані - це ефект, коли гравітаційна хвиля майже врівноважується конвекцією, але не зовсім.

Іншим прикладом є стисливий Ейлер, наприклад, потік повітря через центр обробки даних. Швидкість акустичної хвилі набагато швидша, ніж конвекція, і лише остання важлива для передачі тепла. Якщо вас не цікавить акустика, ви можете скористатися неявним методом.

Відносна ефективність неявного методу залежить від витрат на рішення алгебраїчних систем на кожному етапі / етапі порівняно з розміром кроку, який може бути використаний з явними методами. Ефективне вирішення таких алгебраїчних систем є активною темою дослідження. (Поставте ще одне запитання, і я відповім на нього та посилання звідси.)

Ви також можете використовувати неявні методи, якщо:

• ваші рівняння мають значущі стаціонарні стани, які ви хочете дослідити безпосередньо, можливо, щоб охарактеризувати стабільність
• Ви вирішуєте проблеми зворотного / засвоєння даних, що стосуються тривалої історії
• ви хочете обійти бар'єри порядку, щоб використовувати методи інтеграції дуже високого порядку, що мають певні властивості стабільності
• ви використовуєте просторово-часові адаптаційні методи
• ви використовуєте просторову дискретизацію, яка вже вимагає розв’язання алгебраїчної системи (наприклад, методи безперервних кінцевих елементів з послідовною матрицею мас)