Яка перевага мультисети перед попередньою умовою розкладання домену та навпаки?

В основному це спрямовано на еліптичні PDE над опуклими доменами, щоб я міг отримати хороший огляд двох методів.

Методи декомпозиції багаторівень та багаторівневого домену мають настільки багато спільного, що кожен може бути записаний як окремий випадок іншого. Рамки аналізу дещо різні, як наслідок різних філософій кожної галузі. Взагалі кажучи, багаторешітні методи використовують помірні коефіцієнти грубого розшарування і прості плавніші, тоді як методи розкладання домену використовують надзвичайно швидке грубеєння та сильне згладжування .

Багаторешітка (MG)

Мультисетка використовує помірні коефіцієнти грубого ущільнення і досягає стійкості за допомогою модифікації інтерполяції та згладжування. Для еліптичних проблем оператори інтерполяції повинні мати "низьку енергію", щоб вони зберегли майже нульовий простір оператора (наприклад, режими жорсткого тіла). Приклад геометричного підходу до цих низько енергетичних інтерполянтів - Ван, Чан, Сміт (2000) , порівняйте з алгебраїчною побудовою згладженої агрегації Ванек, Мандель, Брезіна (1996) (паралельна реалізація в ML та PETSc через PCGAMG, заміна на Прометей ) . Книга Троттенберга, Остерлея та Шюллера - це хороша загальна довідка про багаторешіткові методи.

Більшість гладких мультисередок передбачають точкову релаксацію, або адитивно (Якобі), або мультиплікативно (Гаусс Сейдель). Вони відповідають крихітним (одиночний вузол або один елемент) проблемам Діріхле. Деякої спектральної адаптивності, стійкості та векторіабельності можна досягти, використовуючи згладжувачі Чебишева, див. Адамс, Брезіна, Ху, Тумінаро (2003) . Для несиметричних (наприклад, транспортних) проблем, як правило, необхідні мультиплікаційні плавніші, такі як Гаусс-Сейдель, і можуть використовуватися вітрозахисні інтерполянти. Альтернативно, плавніші для проблем з точкою сідла та жорсткої хвилі можуть бути побудовані шляхом трансформації за допомогою вдосконалених Шуром «блок-попередніх кондиціонерів» або пов'язаного з цим «розподіленого розслаблення» в системи, в яких ефективні прості плавці.

Багатокористувацька ефективність підручника відноситься до вирішення помилки дискретизації у малому кратному значенні кількох залишкових оцінок, як всього чотири, на тонкій сітці. Це означає, що кількість ітерацій до фіксованого алгебраїчного допуску зменшується із збільшенням кількості рівнів. Паралельно оцінка часу включає логарифмічний термін, що виникає внаслідок синхронізації, що має на увазі багатоядерна ієрархія.

Розкладання домену (DD)

Перші методи декомпозиції домену мали лише один рівень. Без грубого рівня номер умови попередньо обумовленого оператора не може бути меншим за $\mathcal O\big( \frac{L^2}{H^2}\big)$$L$$H$$\mathcal O\big( \frac{L^2}{hH} \big)$$h$$H/h$Toselli and Widlund (2005) для загальної посилання на методи декомпозиції домену.

Для оптимальних або квазіоптимальних показників конвергенції необхідні кілька рівнів. Більшість методів DD представлені як дворівневі методи, а деякі дуже важко поширити на більше рівнів. Методи DD можуть бути класифіковані як перекриваються або не перекриваються.

Перекриття

Ці методи Шварца використовують перекриття і, як правило, засновані на вирішенні задач Діріхле. Міцність методів можна збільшити за рахунок збільшення перекриття. Цей клас методів, як правило, надійний, не вимагає локальної ідентифікації нульового простору або технічних модифікацій для проблем з локальними обмеженнями (поширеними в інженерній механіці твердих тіл), але передбачає додаткову роботу (особливо в 3D) через перекриття. Крім того, для таких обмежених проблем, як нестислима, зазвичай з'являється константа припливу смуги, що перекривається, що призводить до неоптимальних показників конвергенції. Сучасні методи перекриття, що використовують аналогічні грубі простори BDDC / FETI-DP (розглянуто нижче), розроблені Dorhmann, Klawonn, Widlund (2008) та Dohrmann and Widlund (2010) .

Неперекривання

Ці методи зазвичай вирішують проблеми Неймана певного роду, а це означає, що на відміну від методів Діріхле, вони не можуть працювати з глобально зібраною матрицею, а натомість потребують незібраних або частково зібраних матриць. Найпопулярніші методи Неймана або забезпечують спадкоємність між субдоменами, балансуючи на кожній ітерації, або множниками Лагранжа, які забезпечуватимуть безперервність лише після досягнення конвергенції. Ранні методи такого роду (балансування Неймана-Неймана та FETI) вимагають точної характеристики нульового простору кожного піддомену, як для побудови грубого рівня, так і для того, щоб зробити задачі субдомена несинулярними. Пізніші методи (BDDC і FETI-DP) вибирають піддоменні кути та / або моменти краю / обличчя як грубі рівні рівня свободи. Дивіться Клаунн і Райнбах (2007)для поглибленого обговорення грубого вибору простору для 3D-еластичності. Mandel, Dohrmann і Tazaur (2005) показали, що BDDC і FETI-DP мають однакові власні значення, за винятком можливих 0 і 1.

Більше двох рівнів

Більшість методів DD представляють лише дворівневі методи, а деякі вибирають грубі простори, незручні для використання з більш ніж двома рівнями. На жаль, особливо в 3D, проблеми грубого рівня швидко стають вузьким місцем, обмежуючи розміри проблеми, які можна вирішити. Крім того, номери умов попередньо обумовлених операторів, особливо для методів DD, заснованих на задачах Неймана, мають тенденцію до масштабування як

де - кількість рівнів. Поки застосовується агресивне огрубіння, це, мабуть, не так критично, тому що повинен бути здатний вирішувати проблеми з більш ніж ступенями свободи, але це, звичайно, викликає занепокоєння. Дивіться це питання для подальшого обговорення цього обмеження.$L$$L \le 4$$10^{12}$

Це відмінна реєстрація, але я думаю, що сказати, що (багаторівневі) DD та MG мають багато спільного, не є точним або, принаймні, не корисним. Методи дуже різні, і я не думаю, що досвід в одній дуже корисний в іншому.

По-перше, обидві спільноти використовують різні визначення складності: DD оптимізує кількість умов попередньо обумовлених систем, а MG оптимізує складність роботи / пам’яті. Це велика принципова відмінність - "оптимальність" має абсолютно різний зміст у цих двох контекстах. Речі не змінюються, коли ви додаєте паралельну складність (хоча ви отримуєте додаток до журналу в MG). Дві громади майже розмовляють різними мовами.

По-друге, в MG є вбудований багаторівневий і багаторівневі методи DD були розроблені з дворівневою теорією та реалізацією. Це обмежує простір грубих просторів сітки, які ви можете використовувати в MG - вони повинні бути рекурсивними. Наприклад, ви не можете реалізувати FETI в рамках MG. Люди використовують деякі багаторівневі методи DD, як згадувався Джед, але, принаймні, деякі з сучасних популярних методів DD, схоже, не реалізуються рекурсивно.

По-третє, я бачу самі алгоритми, як це практикується, як дуже різні. Якісно кажучи, я б сказав, що методи DD проектуються на межі домену та вирішують цю проблему інтерфейсу. MG працює безпосередньо з нативними рівняннями. Уникнення цієї проекції дозволяє легко застосовувати MG до нелінійних та несиметричних проблем. Хоча ця теорія майже не відповідає нелінійним і несиметричним проблемам, вони працювали для багатьох людей. MG також явно роз'єднує проблему на дві частини: грубий простір сітки для масштабування та ітераційний вирішувач (більш плавний) для вирішення фізики. Це дуже важливо для розуміння та роботи з MG і є для мене привабливою властивістю.

Хоча теоретично більш гладкі та грубі простори сітки тісно пов'язані між собою, на практиці ви часто можете замінювати різні плавні входи та виходи як параметр оптимізації. Як згадував Джед, точки або вершини плавніші популярні і, як правило, швидші, але для вирішення проблем можуть бути корисні більш важкі плавні. Цей сюжет - з моєї дисертації, де показано час розв’язання як функцію співвідношення Пуассона для Якобі, блоку Якобі та "добавки Шварца" (внахлест). Його трохи важко читати, але при найвищому співвідношенні Пуассона (0,499) Шварц, що перекривається, приблизно в 2 рази швидший, ніж (вершина) Джокобі, тоді як у піксельних коефіцієнтах Пуассона він приблизно в 3 рази повільніше.

Відповідно до відповіді Джеда, MG використовує помірне огрубіння, тоді як DD використовує швидке грубіння. Я думаю, що це має значення, коли вони паралельні. Буде декілька комунікацій та синхронізацій для MG, щоб пройти безліч рівнів грубої обробці, що еквівалентно одному обробленню DD. Ще один момент відповіді Джеда - MG використовує дешевіші, а DD - сильніші. Враховуючи два моменти, повідомлялося, що у групових груп на грубому рівні будуть погані коефіцієнти зв'язку та обчислень. Отже, згідно із законом Амдала , паралельна швидкість не є хорошою. Виправленням цього є паралельна корекція грубої сітки, наприклад, попередній кондиціонер BPX. Крім того, MG може використовувати DD як плавніше, як вказував Адамс, а MG також можна використовувати в межах піддоменів DD. Виходячи з міркувань, які вказував Баркер, я гадаю, що використання MG в межах DD є кращим, що використовує як паралельність DD, так і оптимальну складність MG.

Я хочу зробити одне невелике доповнення до відмінної відповіді Джеда, а саме те, що мотивації, що стоять за двома підходами, є (або принаймні були) різними.

Розкладання домену мотивовано як техніка паралельних обчислень. Спеціально для однорівневих методів DD дуже природно реалізувати на паралельній машині - ви ділите домен на шматки і даєте кожен шматок іншому процесору. У певному сенсі мотивацією DD є розподіл арифметичних операцій між процесорами.

Існує хороша паралельна багаторешітка, але паралельно це робити менш менш природно. Натомість мотивація за мультирешіткою - це робити в першу чергу менше арифметичних операцій.

$H$$h$$\mathcal{O}(\frac{1}{Hh})$

$h$$H$