Чому лінійні системи виявляють синусоїдальну вірність?

9

Я шукаю доказ синусоїдальної вірності. У DSP ми багато вивчаємо про лінійні системи. Лінійні системи є однорідними та аддитивними. Ще однією умовою, яку він задовольняє, є те, що якщо сигнал є синусоїдою або cos хвилею, то вихід тільки змінює фазу або амплітуду. Чому? Чому нахил виходу може бути абсолютно іншим виходом, коли синусоїда подається як вхід?

— Хобіст
джерело

1

Ласкаво просимо до DSP. Чудове запитання!

— Phonon

5

Ваше розуміння неповне. Лінійна (тобто гомогенна та адитивна) система не обов'язково має властивість того, що вхідний синусоїд виробляє синусоїду однакової частоти, але, можливо, різної амплітуди та фази. Потрібно накласти подальше обмеження, що система також інваріантна за часом. Наприклад, якщо вхід дає вихід , система є однорідною та адитивною, а значить, лінійною, але не задовольняє SISO (синусоїдальний синусоїд вийшов ) власність.

x (t)

$x(t)$

x (t) \cos (2 π 10^{9} t)

$x(t)\cos(2\pi 10^9 t)$

— Діліп Сарват

Діліп (або хтось) повинен дати відповідь: "Вони ні". Тільки інваріантні лінійні системи часу.

— hotpaw2

2

Як зауваження, ще одним способом формулювання цього питання було б "Чому експоненціальні власні функції лінійних інваріантних за часом систем?"

— Джейсон R

8

Дещо наочне доповнення до інших відповідей

Ви говорите про системи, лінійні та інваріантні за часом.

Експоненціальні функції мають одну властиву властивість (і її можна фактично визначити): виконання трансляції часу призводить до того ж функції, помноженої на константу. Тому

e^{t - t_{0}} = e^{- t_{0}} e^{t}

$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$

Графіка математики

Червона експоненція також може бути синьою, поділеною на або переміщеною на 1 секунду праворуч $e$

Загалом, це стосується і складних експоненцій

Чи можете ви уявити собі на увазі сюжет складної гармоніки, такої як ? Якщо це так, ви побачите, що це як пружина: вона обертається вздовж складної площини з часом. $x(t)=e^{j2\pi t}$

Графіка математики

Поворот цієї пружини (множення на складне число на одиничне коло) - це те саме, що її переклад. Ви, мабуть, потрапляли в цей візуальний ефект деякий час у своєму житті

введіть тут опис зображення

Це також принцип будь-якого стандартного гвинта.

Припустимо, ми вводимо це в лінійну інваріантну систему часу. Ви отримуєте вихід Тепер введіть поворотну версію цієї весни. З - за лінійності, вихідний сигнал повинен бути повертається на ту ж величину. Але оскільки обертання еквівалентно перекладу часу, а система є інваріантною за часом, вихід також повинен бути час перекладений на ту саму суму. Отже, має задовольняти тій же властивості, що і вхід: обертання його повинно бути еквівалентним певному перекладу часу. Це відбувається лише тоді, коли вихід є кратним вихідної пружини. $y$ $y$ $y$ $y$

Скільки перекладу? Ну, це прямо пропорційно обертанню так, як це сталося б із пружиною. Чим щільніше петлі пружини (чим швидше вона обертається), тим менше вона переводить час для певного обертання. Чим щільніше петлі гвинта, тим більше раундів вам доведеться зробити так, щоб він повністю вписався. І, коли половина раундів виконана, гвинт буде наполовину, це шлях ... Вихід повинен задовольнити те саме відношення, тому вихідна пружина обертається з тією ж частотою, що і вхід. $y$

Нарешті, нагадування

\cos (t) = \frac{e^{j t} + e^{- j t}}{2}

$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$

\sin (t) = \frac{e^{j t} - e^{- j t}}{2 j}

$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$

Отже, те, що відбувається з експонентами, насправді не має відбуватися з косинусами та синусами в самому загальному випадку. Але якщо система також реальна, це вже інша історія ...

Загалом, за цим же міркуванням, будь-яка експоненція є "власною функцією" (вихід пропорційний входу) лінійних інваріантних систем часу. Ось чому для цих систем Z-перетворення та перетворення Лапласа такі корисні

— Роджо
джерело

Як / звідки ти взяв цю анімацію?

— Спейсі

@Mohammad взяв це зі сторінки вікіпедії на гвинті Архімеда

— Rojo

Звідки ви взяли цю загорнуту штопор? :) math.stackexchange.com/q/144268/2206

— ендоліти

@endolith о, я просто це зробив у Mathematica. Ваші приємніші;)

— Rojo

4

Розглянемо систему з введенням $x(t)$ і вихід $y(t)$ . Позичивши позначення з відповіді Ларса1, ми позначимо це співвідношення $x(t) \to y(t)$ . Кажуть, що система є лінійною інваріантною часом (LTI), якщо вона задовольняє наступним властивостям:

H. Якщо $x(t) \to y(t)$ , тоді . $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$

A. Якщо і , то $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

Т. Якщо , то для будь-якого реального числа . $x(t) \to y(t)$ $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ $\tau$

Властивості H і A разом еквівалентні властивості L

L. Якщо і , то . $x_1(t) \to y_1(t)$ $x_2(t) \to y_2(t)$ $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$

Періодичне введення в інваріантну систему часу виробляє періодичний вихід
Припустимо, що - це періодичний сигнал з періодом , тобто для всіх цілих чисел . Тоді з властивостей Т , безпосередньо випливає , що також періодичний сигнал з періодом . Таким чином, ми можемо виразити як ряд Фур'є: $x(t)$ $T$ $x(t-nT) = x(t)$ $n$ $y(t)$ $T$ $y(t)$

y (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n ω t) + b_{n} \sin (n ω t)

$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$ де - основна частота.

ω = 2 π / T

$\omega = 2\pi/T$

Оскільки і є періодичними сигналами, ми маємо, що для будь-якої інваріантної системи часу, лінійної чи ні, Справді, для лінійного часу інваріантні (LTI) системи, все ці і дорівнюють нулю , за винятком для . Щоб зрозуміти, чому це так, давайте обчислимо відповідь системи LTI на $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t) + q_{n} \sin (n ω t) \\ \sin (ω t) & \to \frac{r_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} r_{n} \cos (n ω t) + s_{n} \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{n}, q_{n}, r_{n},

$p_n, q_n, r_n,$

s_{n}

$s_n$

p_{1}, q_{1}, r_{1}, s_{1}

$p_1, q_1, r_1, s_1$

\cos (ω t - θ)

$\cos(\omega t - \theta)$ двома різними способами та порівняйте результати.

Оскільки , то отримаємо із властивості L та вищезгаданих рівнянь, що З іншого боку, оскільки - це просто запізніла версія , з властивості T ми отримуємо це $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0} \cos (θ) + q_{0} \sin (θ)}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (θ) + s_{n} \sin (θ)) \sin (n ω t) . \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$

\cos (ω t - θ) = \cos (ω (t - θ / ω))

$\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$

\cos (ω t)

$\cos(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t - θ) & \to \frac{p_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \cos (n ω t - n θ) + q_{n} \sin (n ω t - n θ) \\ = \frac{p_{0}}{2} \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)) \cos (n ω t) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} (q_{n} \cos (n θ) + p_{n} \sin (n θ)) \sin (n ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$ Ці два ряди Фур'є повинні бути однаковими незалежно від того, яке значення ми обираємо. Порівнюючи коефіцієнти, ми бачимо, що не може бути рівним для всіх якщо . Аналогічно, для будь-якого , не може дорівнювати

θ

$\theta$

p_{0} / 2

$p_0/2$

(p_{0} \cos (θ) + r_{0} \cos (θ)) / 2

$(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$

θ

$\theta$

p_{0} = r_{0} = 0

$p_0 = r_0 = 0$

n > 1

$n > 1$

p_{n} \cos (n θ) - q_{n} \sin (n θ)

$p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$

p_{n} \cos (θ) + r_{n} \sin (θ)

$p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$ тощо для всіх якщо тільки . Однак для , означає, що , а також . Іншими словами, для системи LTI Тепер де і . Тому Властивості

θ

$\theta$

p_{n} = q_{n} = r_{n} = s_{n} = 0

$p_n = q_n = r_n = s_n = 0$

n = 1

$n=1$

p_{1} \cos (θ) - q_{1} \sin (θ) = p_{1} \cos (θ) + r_{1} \sin (θ)

$p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$

r_{1} = - q_{1}

$r_1 = -q_1$

s_{1} = p_{1}

$s_1 = p_1$

\begin{aligned} \cos (ω t) & \to p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) \\ \sin (ω t) & \to - q_{1} \cos (ω t) + p_{1} \sin (ω t) \end{aligned} .

$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$

p_{1} \cos (ω t) + q_{1} \sin (ω t) = B \cos (ω t - ϕ)

$p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$

B = \sqrt{p_{1}^{2} + q_{1}^{2}}

$B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$

ϕ = \arctan (q_{1} / p_{1})

$\phi = \arctan(q_1/p_1)$ Т і Н дають нам, що Будь-який синусоїд частоти rad / s може бути виражений як для відповідного вибору і , і тому наведений вище результат - те, що нам потрібно.

A \cos (ω t - θ) \to A B \cos (ω t - ϕ - θ) .

$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$

ω

$\omega$

A \cos (ω t - θ)

$A\cos(\omega t - \theta)$

A

$A$

θ

$\theta$

Властивість SISO лінійних інваріантних за часом систем: Якщо вхід до системи LTI є синусоїдою, вихід - синусоїда тієї ж частоти, але, можливо, різної амплітуди та фази.

Це не зовсім результат, якого прагнув ОП - він хотів довести, що лінійна система (така, у якій властивості H і A (рівнозначно, властивість L ) має, але не обов'язково властивість T ) має властивість SISO, але як розвиток вище показано, властивість T повинна дотримуватися, щоб довести ще слабший результат, що періодичне введення призводить до періодичного виведення.

В якості остаточного коментаря зауважте, що для підтвердження властивості SISO не потрібно використовувати складні числа чи теореми згортки, а також перетворення Фур'є чи Лапласа, імпульси, власні функції тощо. З властивостей L і * T випливає тригонометрична тотожність

\cos (α - β) = \cos (α) \cos (β) + \sin (α) \sin (β) .

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$

— Діліп Сарват
джерело

Що було б, якщо не є періодичним (не періодичний може статися для невідмінних частот)? Чи потрібно бути кінцевим? Чи можемо ми отримати щось із загальної точки зору, вимагаючи, щоб була інтегрується у квадрат у часовому інтервалі спостереження?

x (t)

$x(t)$

T

$T$

x (t)

$x(t)$

— Lars1

@ Lars1 Якщо вхід до системи LTI не періодичний , вихід також не є періодичним. Як конкретний випадок, якщо де нераціональне (і тому введення не періодичне), то з властивості L маємо, що які виводять також не є періодичними. Так що проблем немає.

x (t) = A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t)

$x(t) = A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t)$

ω_{1} / ω_{2}

$\omega_1/\omega_2$

A_{1} \cos (ω_{1} t) + \A_{2} \cos (ω_{2} t) \to A_{1} B_{1} \cos (ω_{1} t - ϕ_{1}) + \A_{2} B_{2} \cos (ω_{2} t - ϕ_{2})

$A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t) \to A_1 B_1\cos(\omega_1 t - \phi_1) + \A_2B_2\cos(\omega_2 t-\phi_2)$

— Діліп Сарват

@Sarwate: Не зовсім те, що я хотів сказати, вибачте. Цікаво, чи, наприклад, буде оброблятися вищевикладеним випадком. Якщо нам потрібен кінцевий інтервал часу спостереження з будь-який інтегрований квадратний сигнал може бути записаний як ряд Фур'є в інтервалі спостереження. Для кінцевого це, мабуть, найбільш загальний підхід, і ваші похідні все ще дотримуються, наскільки я бачу. Очевидно, що підхід серії Фур'є змушує періодичність поза але якщо нас хвилює лише сигнал це насправді не має значення.

x (t) = \cos (π t) + \cos (\sqrt{2} t)

$x(t)=\cos(\pi t)+\cos(\sqrt{2}t)$

t \in T = [0; T]

$t\in\mathbb{T}=[0;T]$

T

$T$

T

$\mathbb{T}$

t \on t

$t\on\mathbb{t}$

— Lars1

@ Lars1 Я не згоден з вашим коментарем, що насильницька періодичність поза не має значення. Якщо вхід видає вихід в системі LTI, то застосування властивості SISO до ряду Фур'є не дає обмеженим на . Натомість виходить один період періодичної відповіді на періодичний сигнал де кожного разу миттєвий , ,Іншими словами, другий відрізок

[0, T]

$[0, T]$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

y (t)

$y(t)$

[0, T]

$[0,T]$

\hat{y} (t)

$\hat{y}(t)$

\hat{x} (t)

$\hat{x}(t)$

t

$t$

- \infty < t < \infty

$-\infty< t < \infty$

\hat{x} (t) = x (t mod T) .

$\hat{x}(t) = x(t \bmod T).$

T

$T$

x (t)

$x(t)$ повторюються періодично (з періодом ) вздовж осі часу.

T

$T$

— Діліп Сарват

Наприклад, у нелінійних радіочастотних системах ми часто вибираємо суму невідмінних синусоїдалів, щоб забезпечити унікальне відображення частоти від входу до виходу. Це призводить до отримання неперіодичного сигналу, і мені просто було цікаво, чому ви повинні взяти на себе періодичність, над якою мені, здається, виключаються найбільш практично відповідні сигнали. Квадратні інтегруючі і в кінцевих інтервалах спостереження можна записати як ряд Фур'є. Я не (не маю намір) стверджувати, що було визначено на одному інтервалі для і BTW, а може бути версією зсуву за часом. Я зупинюсь тут, щоб уникнути подальшої плутанини.

x (t)

$x(t)$

y (τ)

$y(\tau)$

t

$t$

x

$x$

y

$y$

y

$y$

— Lars1

3

Ось ідея доказу. Припустимо, що ми можемо описати вихід системи за допомогою згортки,

y (t) = \int k_{t} (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$

Зауважте, що функція (ака "ядро") як я її написав тут, може змінюватися, оскільки змінюється. Однак ми зазвичай робимо важливе припущення щодо - що воно не змінюється з часом. Це називається "лінійна інваріантність у часі" (також перегляньте сторінку Вікіпедії на матрицях Топліца ). Якщо наша система лінійна інваріантна за часом, є однаковою для будь-якого , тому ми просто ігноруємо підпис та пишемо $k_t(t)$ $t$ $k_t(t)$ $k_t$ $t$

y (t) = \int k (t - τ) f (τ) d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$

Тепер скажімо, що - синусоїда, скажімо . Отже, маємо $f(t)$ $f(t) = e^{i\omega t}$

y (t) = \int k (t - τ) e^{i ω τ} d τ = \int k (τ) e^{i ω (t - τ)} d τ = e^{i ω t} \int k (τ) e^{- i ω τ} d τ

$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

Зауважте, що останнє рівняння не залежить від $t$ ! В результаті визначимо . $K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$

Таким чином, ми це виявили

y (t) = K (ω) e^{i ω t}

$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$

або, іншими словами, - синусоїда, що коливається на тій же частоті , що і вхід, але зважена на комплексне число яке є постійним відносно (і, таким чином, може зміщувати амплітуду і фазу вихід по відношенню до входу). $y(t)$ $K(\omega)$ $t$

EDIT: У коментарях зазначалося, що ця відповідь була досить нещільною. Моєю метою було уникнути деталей, таких як різні форми перетворення Фур'є, але я закінчився зв'язати перетворення Фур'є та Лапласа. Те, що я раніше називав перетворенням Фур'є, було лише перетворенням Фур'є, якщо було суто уявним. Я вирішив, що уточнення цього маршруту обов'язково додасть занадто багато позначень, тому я відкладаю його курсивом. $s$

А тепер візьмімо для завершення перетворення Лапласа (оскільки перетворення Лапласа вимагає згортання на множення),

Y (s) = K (s) F (s)

$Y(s) = K(s) F(s)$

Тепер, якщо синусоїда, скажімо, , її трансформація Лапласа є функцією дельти при цьому . Тобто . Отже, перетворення Лапласа на виході - це також дельта-функція на цій частоті: $f$ $f(t)=e^{i\omega t}$ $\omega$ $F(s) = \delta_{w}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} (s) = K (ω) δ_{ω} (s)

$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$

Оскільки - це лише якесь складне число, яке залежить від вхідної частоти, вихід буде синусоїдою з тією ж частотою, що і вхід, але з потенційно різною амплітудою та фазою. $K(\omega)$ $y(t)$

До речі, я щойно помітив, що ви можете знайти ту саму ідею, записану у часовій області у Вікіпедії . Пояснення вищого рівня (яке ви можете ігнорувати, якщо це занадто математично) полягає в тому, що теорія лінійних систем визначається за допомогою операції згортання, яка діагоналізована перетворенням Фур'є. Таким чином, система, вхід якої є власним вектором оператора перетворення Фур'є, видасть лише масштабовану версію свого входу.

— так
джерело

-1 Що таке і як це стосується ? А ви могли б пояснити, що означає " ? Ваше рівняння - це абсолютно нісенітниця.

s

$s$

ω

$\omega$

δ_{ω} (s)

$\delta_{\omega}(s)$

Y (s) = K (s) δ_{ω} s)

$Y(s) = K(s)\delta_{\omega} s)$

— Діліп Сарват

@DilipSarwate Я підозрюю, що він використовує позначення перетворення Лапласа замість позначення Фур'є.

— Джим Клей

@sydeulissie Проблема полягає в тому, що ви стверджуєте, що K (w) - це "просто якесь складне число", але ви не сказали, чому це просто складне число на кожній частоті. Це серце доказу.

— Джим Клей

3

Це правильний контур, але багато проблем у деталях. Не зволікаючи, але це слід виправити.

— Phonon

1

Скажімо, у нас є система з входом яка генерує вихід , а з введенням отримуємо вихід . Система лінійна, якщо: $x_1(t)$ $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$ $x_2(t)$ $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$

a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t) \to y (t) = G (a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)) = a \cdot G (x_{1} (t)) + b \cdot G (x_{2} (t)) = a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

де і - реальні або складні константи. Якщо рівняння вище не виконані, система нелінійна. Рівняння може бути використане для реальних і складних сигналів у часових та частотних областях. Це те саме, що має діяти принцип суперпозиції. Як ілюструє Сарват у коментарі, це не заважає системі генерувати нові частоти. Ми, мабуть, часто використовуємось, щоб опосередковано припустити інваріантність у часі. Причина, ймовірно, в тому, що часто можливо зіставити систему, що змінюється за часом, в інваріантну систему часу, застосовуючи один або більше зовнішніх керуючих сигналів. $a$ $b$

З визначення лінійності та подальшої вимоги до інваріантної системи часу, ми можемо безпосередньо бачити, що два (або більше сигналів) не можуть перешкоджати та генерувати нові частотні компоненти, дотримуючись вимоги лінійності. Принцип суперпозиції також безпосередньо випливає з визначення лінійності.

Також з визначення лінійності випливає концепція згортки для лінійних інваріантних систем часу. Наприклад, для нелінійних систем є серія Вольтерра, яка є інтегралом багатовимірної згортки - інтеграл 1-мірної згортки є окремим випадком серії Вольтерра. Це набагато складніше, ніж лінійні методи. Але виходячи з інтегралу згортки для лінійної системи, деривація слідує тій, яку показав @sydeulissie.

Щоб продемонструвати простий зустрічний приклад нелінійного відношення, де генеруються нові частоти, ми могли б використовувати . Покажемо спочатку, що це справді нелінійно. Якщо застосувати вхід отримаємо вихід а якщо застосувати вхід отримаємо вихід . Вихід є: ${\cal G}: y(t) = x^2(t)$ $x_1(t)$ $y_1(t) = x_1^2(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t) = x_2^2(t)$ $y(t)$

y (t) = {a \cdot x_{1} (t) + b \cdot x_{2} (t)}^{2} = a^{2} \cdot x_{1}^{2} (t) + b^{2} \cdot x_{2}^{2} (t) + 2 \cdot a \cdot b \cdot x_{1} (t) \cdot x_{2} (t)

$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$

або:

y (t) = a^{2} \cdot y_{1} (t) + b^{2} \cdot y_{2} (t) \pm 2 \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_{1} (t) \cdot y_{2} (t)} \neq a \cdot y_{1} (t) + b \cdot y_{2} (t)

$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$

і, таким чином, ми довели, що є нелінійним (що навряд чи можна дивувати). Якщо ми застосуємо єдиний синусоїдальний сигнал до системи ми отримаємо вихід: $x^2$ $x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ ${\cal G}$

y (t) = x^{2} (t) = A^{2} \cdot \cos^{2} (2 π f_{0} t + ϕ_{0}) = \frac{A^{2}}{2} + \frac{A^{2}}{2} \cdot \cos (2 π 2 f_{0} t + 2 ϕ_{0})

$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$

Вихід тут містить компонент постійного струму та інший компонент на частоті . Таким чином, нелінійна функція генерує нові компоненти частоти. $2f_0$ $x^2$

На закінчення можна помітити, що лінійна система може генерувати частотні компоненти, відсутні у вході (якщо система є часовим варіантом). Якщо система є лінійною часовою інваріантом, вихід не може включати частотні компоненти, відсутні у вході.

Дякуємо @Sarwate за найвідповідніший коментар.

— Ларс1
джерело

Ти правий. Я забув згадати, що я посилаюся на інваріантні системи часу. Наведений вами приклад - це система, що змінюється за часом, де ваш приклад не відповідає. Зазвичай такий сигнал, як , застосовується на зовнішньому порту як сигнал, і в цьому випадку лінійність не виконується. Я відзначив інваріантну частину часу у відповіді вище.

\cos (t)

$\cos(t)$

— Lars1

@DilipSarwate Отже, це лише властивості системи LTI?

— Phonon

Просто перевірив пару книг, щоб бути на безпеці. Насправді, схоже, є якась різниця в деталях. Одне визначення в книзі Ян і Лі про схемотехнічні системи від 2007 року говорить: "Кажуть, що система є лінійною, якщо дотримується принцип суперпозиції, тобто її вихід на лінійну комбінацію декількох довільних входів такий же, як лінійна комбінація виходів на індивідуальні входи ". У цьому відношенні приклад Сарват є лінійним, але не інваріантним за часом. Інші відгуки менш точні. Завдяки @Sarwate

— Lars1

1

Коментар, на який посилається Ларс1, з виправленими друкарськими помилками: Розгляньте систему, яка виробляє вихід з входу . Тоді дає результат таким чином, щоб система була лінійною, але без заявленої властивості.

x (t) \cos (t)

$x(t)\cos(t)$

x (t)

$x(t)$

a x_{1} (t) + b x_{2} (t)

$ax_1(t)+bx_2(t)$

(a x_{1} (t) + b x_{2} (t)) \cos (t) = a \cdot x_{1} (t) \cos (t) + b \cdot x_{2} (t) \cos (t)

$(ax_1(t)+bx_2(t))\cos(t)=a⋅x_1(t)\cos(t) +b⋅x_2(t)\cos(t)$

— Діліп Сарват

@Sarwate Як змінюється система, яка виробляє час x (t) cos (t)? Я початківець у DSP

— хобіст

1

Як вказував Діліп Сарват, лише лінійні інваріантні зсуви (LSIV) мають властивість SISO (синусоїдальний синусоїд).

Коротка відповідь на ваше запитання полягає в тому, що складні експоненти є власними функціями системи LSIV. За визначенням власної функції, якщо вхід є власною функцією (синус / cos може бути представлений складним експоненціалом за формулою Ейлера), вихід - це лише добуток вводу та відповідне власне значення, яке може бути комплексним числом, і це звідки беруться зміни фази / амплітуди. $e^{\jmath \omega t}$

— чаохуанг
джерело