Коваріація проти автокореляції

13

Я намагаюся з’ясувати, чи існує прямий зв’язок між цими поняттями. Власне, з визначень вони взагалі є різними поняттями. Однак чим більше я думаю про це, тим більше я думаю, що вони дуже схожі.

Нехай $X,Y$ - WSS випадкові вектори. Коваріація, $C_{XY}$ , задається

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$ де

H

$H$ позначає ерміціан вектора.

Нехай $Z$ - випадковий вектор WSS. Функція автокореляції, $R_{XX}$ , задається

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

Редагувати Примітка. Визначення, яке застосовується до обробки сигналів, стосується виправлення, див. Відповідь Метта нижче.

Коваріація не передбачає поняття часу, вона передбачає, що кожен елемент випадкового вектора є різною реалізацією деякого випадкового генератора. Автокореляція передбачає випадковий вектор - це еволюція часу деякого початкового випадкового генератора. І врешті-решт, вони обидві математичні утворення, послідовність чисел. Якщо ви дозволите $X=Y=Z$ , то видається

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$ Чи є щось більш тонке, що мені не вистачає?

autocorrelation covariance proof

— бунт
джерело

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

12

$Z(n)$ $Z(n+\tau)$

Як осторонь, при обробці сигналу автокореляція зазвичай визначається як

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

тобто не віднімаючи середнє. Автоковаріація задається

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

Ці дві функції пов'язані між собою

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— Метт Л.
джерело

τ

$\tau$

@PhilMacKay: Звичайно, але це працює лише для WSS-процесів. Я дав визначення для загального випадку, коли процеси не обов'язково стаціонарні.

— Метт Л.

Так, дійсно нестаціонарні процеси можуть бути прикрою для аналізу даних, саме тому я завжди намагаюся знецінити дані, перш ніж використовувати улюблені статистичні інструменти! Це не завжди можливо, хоча ...

— PhilMacKay

0

$\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

$X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

В моєму особистому досвіді (астрофізика, різноманітна обробка датчиків) коваріація використовувалася як коефіцієнт для перевірки схожості двох наборів даних, тоді як автокореляція використовувалася для характеристики відстані кореляції, тобто як швидко розвиваються дані, щоб стати іншими даними повністю.

— PhilMacKay
джерело