Що таке еквівалент lme4 :: lmer тристоронньої повторної міри ANOVA?

Моє запитання засноване на цій відповіді, яка показала, яка lme4::lmerмодель відповідає двостороннім повторним заходам ANOVA:

require(lme4)
set.seed(1234)
d <- data.frame(
    y = rnorm(96),
    subject = factor(rep(1:12, 4)),
    a = factor(rep(1:2, each=24)),
    b = factor(rep(rep(1:2, each=12))),
    c = factor(rep(rep(1:2, each=48))))

# standard two-way repeated measures ANOVA:
summary(aov(y~a*b+Error(subject/(a*b)), d[d$c == "1",]))

# corresponding lmer call:
anova(lmer(y ~ a*b+(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject), d[d$c == "1",]))

Моє запитання зараз полягає в тому, як поширити це на справу тривимірної ANOVA:

summary(aov(y~a*b*c+Error(subject/(a*b*c)), d))
## [...]
## Error: subject:a:b:c
##           Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## a:b:c      1  0.101  0.1014   0.115  0.741
## Residuals 11  9.705  0.8822

Природне розширення та його версії не відповідають результатам ANOVA:

anova(lmer(y ~ a*b*c +(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject) + (1|c:subject), d))
## [...]
## a:b:c  1 0.1014  0.1014  0.1500

anova(lmer(y ~ a*b*c +(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject) + (1|c:subject) + 
               (1|a:b:subject) + (1|a:c:subject) + (1|b:c:subject), d))
## [...]
## a:b:c  1 0.1014  0.1014  0.1539

Зверніть увагу , що дуже схоже запитання було поставлене до того . Однак у нього бракували приклади даних (які надано тут).

— Генрік
джерело

Ви впевнені, що не хочете, щоб ваша дворівнева модель була y ~ a*b + (1 + a*b|subject), d[d$c == "1",]? А може, мені чогось не вистачає?

— Rasmus Bååth

@ RasmusBååth Іди вперед і спробуй підлаштувати його, lmerбуде скаржитися, оскільки випадкові ефекти більше не визначаються. Спочатку я також думав, що це модель, яку я хочу, але це не так. Якщо порівняти модель lmer, яку я пропоную для двостороннього випадку, зі стандартною ANOVA, ви побачите, що значення F точно відповідають. Як сказано у відповіді, я пов'язав.

— Генрік

Для завдання триходового, перша lmerмодель , яку ви написали (що виключає випадкові двосторонні взаємодії) є НЕ очікується, буде еквівалентна 3-смуговий RM-ANOVA, а другий , який ви писали (який включає в себе випадкове двосторонні взаємодії) повинні бути. Що стосується того, чому існує розбіжність навіть із цією моделлю, я маю уявлення про те, в чому проблема, збираюся взяти вечерю, а потім ще трохи погляну на набір даних іграшок.

— Джейк Уестпад

Пряма відповідь на ваше запитання полягає в тому, що остання модель, яку ви написали,

anova(lmer(y ~ a*b*c +(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject) + (1|c:subject) + 
           (1|a:b:subject) + (1|a:c:subject) + (1|b:c:subject), d))

Я вважаю, що "в принципі" правильно, хоча це дивна параметризація, яка не завжди, здається, працює добре в реальній практиці.

Щодо того, чому вихід, який ви отримуєте від цієї моделі, не відрізняється від aov()результату, я думаю, що це дві причини.

Ваш простий модельований набір даних є патологічним тим, що найкраще підійде модель, яка передбачає компоненти негативної дисперсії, до яких змішані моделі, що відповідають lmer()(і більшість інших змішаних модельних програм), не дозволять.
Навіть з непатологічним набором даних, як ви створили модель, як було сказано вище, не завжди здається, що на практиці працює добре, хоча, маю визнати, я не дуже розумію, чому. На мій погляд, це також просто взагалі дивно, але це вже інша історія.

Дозвольте спочатку продемонструвати параметризацію, яку я віддаю перевагу на вашому початковому двосторонньому прикладі ANOVA. Припустимо, що ваш набір даних dзавантажений. Ваша модель (зауважте, що я змінила з "манекена" на контрастні коди):

options(contrasts=c("contr.sum","contr.poly"))
mod1 <- lmer(y ~ a*b+(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject),
         data = d[d$c == "1",])
anova(mod1)
# Analysis of Variance Table
#     Df  Sum Sq Mean Sq F value
# a    1 2.20496 2.20496  3.9592
# b    1 0.13979 0.13979  0.2510
# a:b  1 1.23501 1.23501  2.2176

яка тут добре працювала, оскільки вона відповідала aov()виходу. Модель, яку я віддаю перевагу, включає дві зміни: контрастне кодування факторів вручну, щоб ми не працювали з об'єктами фактора R (що я рекомендую робити у 100% випадків), а також визначати випадкові ефекти по-різному:

d <- within(d, {
  A <- 2*as.numeric(paste(a)) - 3
  B <- 2*as.numeric(paste(b)) - 3
  C <- 2*as.numeric(paste(c)) - 3
})
mod2 <- lmer(y ~ A*B + (1|subject)+(0+A|subject)+(0+B|subject),
             data = d[d$c == "1",])
anova(mod2)
# Analysis of Variance Table
# Df  Sum Sq Mean Sq F value
# A    1 2.20496 2.20496  3.9592
# B    1 0.13979 0.13979  0.2510
# A:B  1 1.23501 1.23501  2.2176

logLik(mod1)
# 'log Lik.' -63.53034 (df=8)
logLik(mod2)
# 'log Lik.' -63.53034 (df=8)

Два підходи цілком рівноцінні в простій двосторонній задачі. Тепер ми перейдемо до трибічної проблеми. Раніше я згадував, що наведений вами приклад даних є патологічним. Тож, що я хочу зробити перед тим, як звернутися до вашого набору даних прикладу, - це спершу генерувати набір даних із фактичної моделі компонентів дисперсії (тобто, де ненульові компоненти дисперсії вбудовані в справжню модель). Спочатку я покажу, як здається, що моя бажана параметризація працює краще, ніж запропонована вами. Тоді я продемонструю інший спосіб оцінки компонентів дисперсії, який не нав'язує, що вони повинні бути негативними. Тоді ми зможемо побачити проблему з оригінальним набором даних.

Новий набір даних буде ідентичним за структурою, за винятком того, що у нас буде 50 предметів:

set.seed(9852903)
d2 <- expand.grid(A=c(-1,1), B=c(-1,1), C=c(-1,1), sub=seq(50))
d2 <- merge(d2, data.frame(sub=seq(50), int=rnorm(50), Ab=rnorm(50),
  Bb=rnorm(50), Cb=rnorm(50), ABb=rnorm(50), ACb=rnorm(50), BCb=rnorm(50)))
d2 <- within(d2, {
  y <- int + (1+Ab)*A + (1+Bb)*B + (1+Cb)*C + (1+ABb)*A*B +
    (1+ACb)*A*C + (1+BCb)*B*C + A*B*C + rnorm(50*2^3)
  a <- factor(A)
  b <- factor(B)
  c <- factor(C)
})

F-коефіцієнти, з якими ми хочемо відповідати:

aovMod1 <- aov(y ~ a*b*c + Error(factor(sub)/(a*b*c)), data = d2)
tab <- lapply(summary(aovMod1), function(x) x[[1]][1,2:4])
do.call(rbind, tab)
#                          Sum Sq Mean Sq F value
# Error: factor(sub)       439.48    8.97        
# Error: factor(sub):a     429.64  429.64  32.975
# Error: factor(sub):b     329.48  329.48  27.653
# Error: factor(sub):c     165.44  165.44  17.924
# Error: factor(sub):a:b   491.33  491.33  49.694
# Error: factor(sub):a:c   305.46  305.46  41.703
# Error: factor(sub):b:c   466.09  466.09  40.655
# Error: factor(sub):a:b:c 392.76  392.76 448.101

Ось наші дві моделі:

mod3 <- lmer(y ~ a*b*c + (1|sub)+(1|a:sub)+(1|b:sub)+(1|c:sub)+
  (1|a:b:sub)+(1|a:c:sub)+(1|b:c:sub), data = d2)
anova(mod3)
# Analysis of Variance Table
#       Df Sum Sq Mean Sq F value
# a      1  32.73   32.73  34.278
# b      1  21.68   21.68  22.704
# c      1  12.53   12.53  13.128
# a:b    1  60.93   60.93  63.814
# a:c    1  50.38   50.38  52.762
# b:c    1  57.30   57.30  60.009
# a:b:c  1 392.76  392.76 411.365

mod4 <- lmer(y ~ A*B*C + (1|sub)+(0+A|sub)+(0+B|sub)+(0+C|sub)+
  (0+A:B|sub)+(0+A:C|sub)+(0+B:C|sub), data = d2)
anova(mod4)
# Analysis of Variance Table
#       Df Sum Sq Mean Sq F value
# A      1  28.90   28.90  32.975
# B      1  24.24   24.24  27.653
# C      1  15.71   15.71  17.924
# A:B    1  43.56   43.56  49.694
# A:C    1  36.55   36.55  41.703
# B:C    1  35.63   35.63  40.655
# A:B:C  1 392.76  392.76 448.101

logLik(mod3)
# 'log Lik.' -984.4531 (df=16)
logLik(mod4)
# 'log Lik.' -973.4428 (df=16)

Як ми бачимо, лише другий метод відповідає результату з aov(), хоча перший метод є принаймні у бальній смузі. Другий метод також досягає більшої ймовірності журналу. Я не впевнений, чому ці два методи дають різні результати, оскільки я знову думаю, що вони "в принципі" еквівалентні, але, можливо, це є з якихось числових / обчислювальних причин. А може, я помиляюся, і вони не є рівнозначними навіть в принципі.

Зараз я покажу ще один спосіб оцінки компонентів дисперсії на основі традиційних ідей ANOVA. В основному ми візьмемо очікувані середні квадратні рівняння для вашої конструкції, замінимо спостережувані значення середніх квадратів та вирішимо для дисперсійних компонентів. Для того, щоб отримати очікувані середні квадрати ми будемо використовувати функцію R , яку я написав кілька років тому, називається EMS(), яка документована ТУТ . Нижче я припускаю, що функція вже завантажена.

# prepare coefficient matrix
r <- 1 # number of replicates
s <- 50 # number of subjects
a <- 2 # number of levels of A
b <- 2 # number of levels of B
c <- 2 # number of levels of C
CT <- EMS(r ~ a*b*c*s, random="s")
expr <- strsplit(CT[CT != ""], split="")
expr <- unlist(lapply(expr, paste, collapse="*"))
expr <- sapply(expr, function(x) eval(parse(text=x)))
CT[CT != ""] <- expr
CT[CT == ""] <- 0
mode(CT) <- "numeric"
# residual variance and A*B*C*S variance are confounded in
# this design, so remove the A*B*C*S variance component
CT <- CT[-15,-2]
CT
#        VarianceComponent
# Effect  e b:c:s a:c:s a:b:s a:b:c c:s b:s a:s b:c a:c a:b s   c   b   a
#   a     1     0     0     0     0   0   0   4   0   0   0 0   0   0 200
#   b     1     0     0     0     0   0   4   0   0   0   0 0   0 200   0
#   c     1     0     0     0     0   4   0   0   0   0   0 0 200   0   0
#   s     1     0     0     0     0   0   0   0   0   0   0 8   0   0   0
#   a:b   1     0     0     2     0   0   0   0   0   0 100 0   0   0   0
#   a:c   1     0     2     0     0   0   0   0   0 100   0 0   0   0   0
#   b:c   1     2     0     0     0   0   0   0 100   0   0 0   0   0   0
#   a:s   1     0     0     0     0   0   0   4   0   0   0 0   0   0   0
#   b:s   1     0     0     0     0   0   4   0   0   0   0 0   0   0   0
#   c:s   1     0     0     0     0   4   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   a:b:c 1     0     0     0    50   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   a:b:s 1     0     0     2     0   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   a:c:s 1     0     2     0     0   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   b:c:s 1     2     0     0     0   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   e     1     0     0     0     0   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0

# get mean squares
(MSmod <- summary(aov(y ~ a*b*c*factor(sub), data=d2)))
#                   Df Sum Sq Mean Sq
# a                  1  429.6   429.6
# b                  1  329.5   329.5
# c                  1  165.4   165.4
# factor(sub)       49  439.5     9.0
# a:b                1  491.3   491.3
# a:c                1  305.5   305.5
# b:c                1  466.1   466.1
# a:factor(sub)     49  638.4    13.0
# b:factor(sub)     49  583.8    11.9
# c:factor(sub)     49  452.2     9.2
# a:b:c              1  392.8   392.8
# a:b:factor(sub)   49  484.5     9.9
# a:c:factor(sub)   49  358.9     7.3
# b:c:factor(sub)   49  561.8    11.5
# a:b:c:factor(sub) 49   42.9     0.9
MS <- MSmod[[1]][,"Mean Sq"]

# solve
ans <- solve(CT, MS)
cbind(rev(ans[c(grep("e",names(ans)),grep("s",names(ans)))])/
        c(1,2,2,2,4,4,4,1))
# s     1.0115549
# a:s   1.5191114
# b:s   1.3797937
# c:s   1.0441351
# a:b:s 1.1263331
# a:c:s 0.8060402
# b:c:s 1.3235126
# e     0.8765093
summary(mod4)
# Random effects:
#  Groups   Name        Variance Std.Dev.
#  sub      (Intercept) 1.0116   1.0058  
#  sub.1    A           1.5191   1.2325  
#  sub.2    B           1.3798   1.1746  
#  sub.3    C           1.0441   1.0218  
#  sub.4    A:B         1.1263   1.0613  
#  sub.5    A:C         0.8060   0.8978  
#  sub.6    B:C         1.3235   1.1504  
#  Residual             0.8765   0.9362  
# Number of obs: 400, groups:  sub, 50

Гаразд, зараз ми повернемося до початкового прикладу. Коефіцієнти F, які ми намагаємося відповідати:

aovMod2 <- aov(y~a*b*c+Error(subject/(a*b*c)), data = d)
tab <- lapply(summary(aovMod2), function(x) x[[1]][1,2:4])
do.call(rbind, tab)
#                       Sum Sq Mean Sq F value
# Error: subject       13.4747  1.2250        
# Error: subject:a      1.4085  1.4085  1.2218
# Error: subject:b      3.1180  3.1180  5.5487
# Error: subject:c      6.3809  6.3809  5.2430
# Error: subject:a:b    1.5706  1.5706  2.6638
# Error: subject:a:c    1.0907  1.0907  1.5687
# Error: subject:b:c    1.4128  1.4128  2.3504
# Error: subject:a:b:c  0.1014  0.1014  0.1149

Ось наші дві моделі:

mod5 <- lmer(y ~ a*b*c + (1|subject)+(1|a:subject)+(1|b:subject)+
  (1|c:subject)+(1|a:b:subject)+(1|a:c:subject)+(1|b:c:subject),
  data = d)
anova(mod5)
# Analysis of Variance Table
#       Df Sum Sq Mean Sq F value
# a      1 0.8830  0.8830  1.3405
# b      1 3.1180  3.1180  4.7334
# c      1 3.8062  3.8062  5.7781
# a:b    1 1.5706  1.5706  2.3844
# a:c    1 0.9620  0.9620  1.4604
# b:c    1 1.4128  1.4128  2.1447
# a:b:c  1 0.1014  0.1014  0.1539

mod6 <- lmer(y ~ A*B*C + (1|subject)+(0+A|subject)+(0+B|subject)+
  (0+C|subject)+(0+A:B|subject)+(0+A:C|subject)+
  (0+B:C|subject), data = d)
anova(mod6)
# Analysis of Variance Table
#       Df Sum Sq Mean Sq F value
# a      1 0.8830  0.8830  1.3405
# b      1 3.1180  3.1180  4.7334
# c      1 3.8062  3.8062  5.7781
# a:b    1 1.5706  1.5706  2.3844
# a:c    1 0.9620  0.9620  1.4604
# b:c    1 1.4128  1.4128  2.1447
# a:b:c  1 0.1014  0.1014  0.1539

logLik(mod5)
# 'log Lik.' -135.0351 (df=16)
logLik(mod6)
# 'log Lik.' -134.9191 (df=16)

У цьому випадку дві моделі дають в основному однакові результати, хоча другий метод має дуже високу ймовірність журналу. Жоден метод не відповідає aov(). Але давайте подивимося, що ми отримуємо, коли ми вирішуємо компоненти дисперсії, як це було зроблено вище, використовуючи процедуру ANOVA, яка не обмежує компоненти дисперсії негативними (але яка може бути використана лише у врівноважених конструкціях без суцільних прогнозів і без відсутні дані; класичні припущення ANOVA).

# prepare coefficient matrix
r <- 1 # number of replicates
s <- 12 # number of subjects
a <- 2 # number of levels of A
b <- 2 # number of levels of B
c <- 2 # number of levels of C
CT <- EMS(r ~ a*b*c*s, random="s")
expr <- strsplit(CT[CT != ""], split="")
expr <- unlist(lapply(expr, paste, collapse="*"))
expr <- sapply(expr, function(x) eval(parse(text=x)))
CT[CT != ""] <- expr
CT[CT == ""] <- 0
mode(CT) <- "numeric"
# residual variance and A*B*C*S variance are confounded in
# this design, so remove the A*B*C*S variance component
CT <- CT[-15,-2]

# get mean squares
MSmod <- summary(aov(y ~ a*b*c*subject, data=d))
MS <- MSmod[[1]][,"Mean Sq"]

# solve
ans <- solve(CT, MS)
cbind(rev(ans[c(grep("e",names(ans)),grep("s",names(ans)))])/
        c(1,2,2,2,4,4,4,1))
# s      0.04284033
# a:s    0.03381648
# b:s   -0.04004005
# c:s    0.04184887
# a:b:s -0.03657940
# a:c:s -0.02337501
# b:c:s -0.03514457
# e      0.88224787
summary(mod6)
# Random effects:
#  Groups    Name        Variance  Std.Dev. 
#  subject   (Intercept) 7.078e-02 2.660e-01
#  subject.1 A           6.176e-02 2.485e-01
#  subject.2 B           0.000e+00 0.000e+00
#  subject.3 C           6.979e-02 2.642e-01
#  subject.4 A:B         1.549e-16 1.245e-08
#  subject.5 A:C         4.566e-03 6.757e-02
#  subject.6 B:C         0.000e+00 0.000e+00
#  Residual              6.587e-01 8.116e-01
# Number of obs: 96, groups:  subject, 12

Тепер ми можемо побачити, що є патологічним щодо оригінального прикладу. Найкраще підійде модель, яка передбачає, що декілька випадкових дисперсійних компонентів є негативними. Але lmer()(і більшість інших змішаних модельних програм) обмежує оцінки компонентів дисперсії негативними. Це, як правило, вважається розумним обмеженням, оскільки розбіжності, звичайно, ніколи не можуть бути негативними. Однак наслідком цього обмеження є те, що змішані моделі не в змозі точно представити набори даних, які містять негативні внутрішньокласові кореляції, тобто набори даних, де спостереження з одного кластеру менше(а не більше) аналогічно в середньому, ніж спостереження, проведені випадковим чином з набору даних, і, отже, коли дисперсія в кластері значно перевищує дисперсію між кластером. Такі набори даних є цілком розумними наборами даних, які іноді трапляються в реальному світі (або випадково імітують!), Але їх неможливо охарактеризувати моделлю дисперсійних компонентів, оскільки вони передбачають негативні компоненти дисперсії. Однак вони можуть бути "нерозумно" описані такими моделями, якщо програмне забезпечення це дозволить. aov()дозволяє це. lmer()не.

— Джейк Вестфалл
джерело

+1. По-новому

I am not sure why these two methods give different results, as again I think they are "in principle" equivalent, but maybe it is for some numerical/computational reasons

, ви, можливо, розумієте це краще зараз (через два роки)? Я спробував розібратися, у чому різниця, але не зрозумійте і цього…

— amoeba

@amoeba Моє теперішнє мислення все ще майже те саме, що і тоді: AFAIK, дві моделі статистично рівнозначні (в тому сенсі, що вони роблять однакові прогнози щодо даних і передбачають однакові стандартні помилки), навіть незважаючи на те, що випадкові ефекти параметризовані по-різному. Я думаю, що спостерігаються відмінності - які, здається, трапляються лише іноді - лише пов'язані з обчислювальними проблемами. Зокрема, я підозрюю, що ви могли поспішати з налаштуваннями оптимізатора (наприклад, різними початковими точками або використовувати більш суворі критерії конвергенції), поки дві моделі не повернуться абсолютно однаково.

— Джейк Вестфалл

Спасибі за Вашу відповідь. Я досить непереконаний: я намагався пограбувати з налаштуваннями оптимізатора і не зміг нічого змінити в результатах; моє враження, що обидві моделі добре збігаються. Я можу задати це питання окремо.

— амеба

A

k

$k$ (1|A:sub)(0+A|sub)

k - 1

$k-1$

k (k - 1) / 2

$k(k-1)/2$

k = 2

$k=2$ обидва методи оцінюють один параметр, і я все ще не зовсім впевнений, чому вони не згодні.

— амеба

Повертаючись до цього питання ... Я помітив, що для двофакторного випадку, коли два lmerвиклики дають однаковий anova()вихід, відхилення випадкових ефектів все-таки зовсім різні: див. VarCorr(mod1)Та VarCorr(mod2). Я не зовсім розумію, чому це відбувається; чи ти? Бо mod3і mod4, можна побачити, що чотири з семи варіацій для mod3насправді дорівнюють нулю (для mod4всіх семи немає нуля); ця "особливість" у mod3, мабуть, чому таблиці анова відрізняються. Крім цього, як би ви використовували свій "бажаний спосіб", якби aі bмали більше двох рівнів?

— амеба

Є a, b, cфіксовані або випадкові ефекти? Якщо вони будуть виправлені, ваш синтаксис буде просто

summary(aov(y~a*b*c+Error(subject), d))
Error: subject
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals 11  13.47   1.225               

Error: Within
          Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
a          1   1.41   1.408   1.730 0.19235   
b          1   3.12   3.118   3.829 0.05399 . 
c          1   6.38   6.381   7.836 0.00647 **
a:b        1   1.57   1.571   1.929 0.16889   
a:c        1   1.09   1.091   1.339 0.25072   
b:c        1   1.41   1.413   1.735 0.19168   
a:b:c      1   0.10   0.101   0.124 0.72518   
Residuals 77  62.70   0.814  

library(lmerTest)
anova(lmer(y ~ a*b*c+(1|subject), data=d))
Analysis of Variance Table of type 3  with  Satterthwaite 
approximation for degrees of freedom
      Sum Sq Mean Sq NumDF  DenDF F.value   Pr(>F)   
a     1.4085  1.4085     1 76.991  1.7297 0.192349   
b     3.1180  3.1180     1 76.991  3.8291 0.053995 . 
c     6.3809  6.3809     1 76.991  7.8363 0.006469 **
a:b   1.5706  1.5706     1 76.991  1.9289 0.168888   
a:c   1.0907  1.0907     1 76.991  1.3394 0.250716   
b:c   1.4128  1.4128     1 76.991  1.7350 0.191680   
a:b:c 0.1014  0.1014     1 76.991  0.1245 0.725183

— Масато Наказава
джерело

Вони є фіксованими ефектами. Однак модель ANOVA, яка вам підходить, - це не модель, яка, здається, є класичною моделлю ANOVA з повторними заходами, див., Наприклад, тут . Дивіться прошарки помилок у вашому та моєму випадку.

— Генрік

Насправді, як вони це роблять, невірно. Якщо у вас є повністю схрещений факторний проект повторних заходів (або рандомізований блок-факторіал), ви повинні отримати лише 1 термін помилки, окрім subject, для всіх ефектів (тобто Within). Дивіться Експериментальний дизайн: Процедури для поведінкових наук (2013) Кірка, глава 10 (с.458) або моє повідомлення тут

— Масато Наказава

На даний момент ми зупинимося на цьому питанні та припустимо, що модель, яку я підходив, була б правильною моделлю. Як би ви підходили до цього, використовуючи lmer? Я все-таки отримаю свою копію Кірка (лише друге видання) і побачу, що там написано.

— Генрік

Мені цікаво дізнатися, що ви думаєте про розділ Кірка. Я думаю, що номер розділу у 2-му виданні. інакший. Тим часом я спробую підігнати різні lmerмоделі. Найкращий спосіб перевірити відповідність моделі - перевірити їх dfs, використовуючи, lmerTestоскільки наближення KR має дати exactdfs та, отже, p-значення.

— Масато Наказава

У мене є друге видання Кірка, де я вважаю, що відповідне обговорення ведеться на стор. 443-449, де обговорюється двосторонній (а не тристоронній) приклад. Очікувані середні квадрати, або припускаючи добавку A і B, або ні, наведені на p. 447. Припускаючи, що А і В є фіксованими, а предмети / блоки є випадковими, ми можемо бачити середньоквадратичні очікувані квадрати, перелічені Кірком під "недодатковою моделлю", що тести А, В і АВ включають різні умови помилок, а саме: відповідні взаємодії з блоком / темою. Цей же принцип поширюється і на даний тристоронній приклад.

— Джейк Уестпад