Очікуване значення максимального відношення n нормальних змінних

Нехай $X_1,...,X_n$ є IID з $N(\mu,\sigma^2)$ , і нехай $X_{(i)}$ позначимо $i$ «й найменший елемент з $X_1,...,X_n$ . Як можна було б перевершити очікуваний максимум співвідношення між двома послідовними елементами в $X_{(i)}$ ? Тобто, як можна обчислити верхню межу:

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

Література, яку мені вдалося знайти, в основному зосереджена на співвідношенні між двома випадковими змінними, що призводить до розподілу співвідношення, для якого тут наведено pdf для двох некоррельованих нормальних розподілів: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Хоча це дозволило б мені перевищити очікуване середнє відношення $n$ змінних, я не бачу, як узагальнити це поняття до пошуку очікуваного максимального відношення $n$ змінних.

— Макс
джерело

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$

Очікування не визначено.

$X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

$0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

$F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

$t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

$n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Коли , нерівність забезпечує нижню межу для цього, пропорційну , показуючи, що $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

Функція виживання з , має хвіст поводиться асимптотично , як : тобто, для деякого додатного числа . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

За визначенням, очікування будь-якої випадкової величини - це очікування її позитивної частини плюс очікування її негативної частини . Оскільки позитивна частина очікування - якщо вона існує - є інтегралом функції виживання (від до ) і $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

позитивна частина очікування розходиться. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

Цей же аргумент, застосований до змінних показує негативну частину очікування. Таким чином, очікування коефіцієнта навіть не безмежне: воно не визначене. $-X_i$

— дзижчати
джерело

+1 Я просто спробував «простий» випадок сам спробував оцінити очікування ... і дійшов такого ж висновку: інтеграл очікування не збігається. Можливо, ОП повторно поставить питання в іншій формі, наприклад, відмінності, а не співвідношення

n = 3

$n = 3$

— волфіфікує