Чи є простий варіант тесту на еквівалентність тесту Колмогорова

Чи було сформовано два однобічні тести на еквівалентність (TOST) для тесту Колмогорова-Смірнова для перевірки нульовістичної нульової гіпотези про те, що два розподіли відрізняються хоча б деяким рівнем, визначеним дослідником?

Якщо не TOST, то якась інша форма тесту на еквівалентність?

Нік Стаунер мудро зазначає, що (я вже повинен знати;) існують інші непараметричні тести на еквівалентність TOST для нульових гіпотез для стохастичної еквівалентності та, при більш обмежувальних припущеннях, для середньої еквівалентності.

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— Алексіс
джерело

Супутнє: Тести на еквівалентність для ненормативних даних?

— Нік Стаунер

Гаразд, ось моя перша спроба. Ретельна перевірка та коментарі високо оцінені!

Двопробні гіпотези
Якщо ми можемо створити двопробні однобічні однобічні тести гіпотези Колмогорова-Смірнова , з нульовими та чергуючими гіпотезами за цими лініями:

H , і $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

H , принаймні на один , де: $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$

тестова статистика відповідає H ; $D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$
тестова статистика відповідає H ; і $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
$F_{Y}\left(t\right)$ і - емпіричні CDF зразків і , $F_{X}\left(t\right)$ $Y$ $X$

тоді слід обґрунтувати створення загальної інтервальної гіпотези для тесту на еквівалентність за цими лініями (якщо припустити, що інтервал еквівалентності на даний момент симетричний):

H , і $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

H , принаймні на одну . $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

Це означатиме дві однобічні "негативістські" нульові гіпотези для перевірки на еквівалентність (ці дві гіпотези приймають однакову форму, оскільки і і суворо негативні): $D^{+}$ $D^{-}$

H , або $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H . $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

Відхилення і H і H приведе до висновку, що . Звичайно, інтервал еквівалентності не повинен бути симетричним, і і можна замінити на (нижній) та (верхній) для відповідних односторонніх нульових гіпотез. $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

Статистика тесту (оновлено: Delta знаходиться поза знаком абсолютного значення)
Статистика тестів і (залишаючи і неявними) відповідають H і H відповідно, і є: $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

$D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$ , і

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

Поріг еквівалентності / відповідності
Інтервал — Або , якщо використовується асиметричний інтервал еквівалентності, виражається в одиницях і , або величина різницьких ймовірностей. Оскільки і наближаються до нескінченності, CDF з або для наближається до для , а для : $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

lim_{n_{Y}, n_{X} \to \infty} p^{+} = P (\sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$CDF $ D ^ {+} $ (або $ D ^ {-} $)$

Отже, мені здається, що PDF для масштабування вибірки (або масштабування зразка ) повинен бути для , а для : $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$PDF у розмірі $ D ^ {+} $ (або $ D ^ {-} $)$

Glen_b вказує, що це розподіл Релея з . Отже, велика квантильна функція вибірки для масштабних розмірів вибірки і дорівнює: $\sigma=\frac{1}{2}$ $D^{+}$ $D^{-}$

{CDF}^{- 1} = Q (p) = \sqrt{\frac{- \ln (1 - p)}{2}}

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

і ліберальний вибір може бути критичним значенням , і більш суворим вибором критичне значення . $\Delta$ $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$

— Алексіс
джерело

У рядку, де ви переходите з cdf до pdf, я думаю, ви помилилися. Нехай , так (зловживаючи позначення), у межі . Тоді (відзначимо після ). (зауважте також пропущений знак у покажчику в рядку над прийняттям похідної. Також я не впевнений, чому у вас є цілісний символ, але, можливо, я щось неправильно зрозумів.)

K_{n_{Y}, n_{X}} = \sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+}

$K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$

P (K_{\infty, \infty} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$

f_{K} (t) = \frac{d}{d t} 1 - e^{- 2 t^{2}} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$

t

$t$

4

$4$

— Glen_b -Встановіть Моніку

@stochazesthai і - це двостороння статистика тестів. За TOST вам потрібно відхилити обидві нульові гіпотези, до яких застосовуються ці статистичні дані. - критичне значення від CDF у наведеному вище рядку, і там, де ви хочете підписати для (наприклад, ). Вибір залежить від того, наскільки давно (критичне значення відхилення для простого старого позитивістського ) потрібно пройти, перш ніж укласти відповідну різницю (наприклад, ліберальна "еквівалентність" -

D_{1}

$D_{1}$

D_{2}

$D_{2}$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

^{- 1}

$^{-1}$

1 - α

$1-\alpha$

p

$p$

Q_{α} = \sqrt{\frac{- \ln (1 - (1 - α))}{2}}

$Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$

Δ

$\Delta$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

H_{0}

$H_{0}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

σ

$\sigma$ понад ).

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

— Олексій

@stochazesthai (Продовження) Отже, якщо обидва і , то ви відхиляєте .

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{0}^{-}

$H_{0}^{-}$

— Олексій

@stochazesthai Whoops! Я мав би поставити лапки навколо слова ліберальний, а не еквівалентності двох коментарів назад. :)

— Олексій

@stochazesthai Якщо , то відхиліть , якщо , то не вдасться відхилити . Якщо , то відхиліть , якщо , то не вдасться відхилити . Якщо відхилити і і , тоді відхиліть , інакше не вдасться відхилити .

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{1} < Δ

$D_{1} < \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

D_{2} < Δ

$D_{2} < \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

— Олексій

Альтернатива TOST при тестуванні на еквівалентність базується на підході довірчого інтервалу:

Нехай позначає попередньо визначений запас еквівалентності і відстань Колмогорова-Смірнова між невідомими основними функціями розподілу. $\Delta$

θ := sup_{t} | F_{X} (t) - F_{Y} (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$

Тепер, якщо інтервал довіри 90% для повністю знаходиться в межах , ми можемо бути на 95% впевнені, що є достатньо близьким до 0, щоб говорити про "еквівалентність". $\theta$ $[-\Delta, \Delta]$ $\theta$

Не знаючи , що лежить в основі розподілу, здається безнадійним , щоб отримати наближений аналітичний довірчий інтервал, так що , можливо , доведеться покладатися на (зміщення скоригованого) самозавантаження довірчих інтервалів на основі передискретизации з пар і . (Я не хочу знайти умови для їх дійсності в цій конкретній програмі, хоча ...) $X$ $Y$

— Михайло М
джерело

Відмінно. Чи є у вас цитування тих, хто займається CI (завантажувальний або іншим способом)?

D_{n_{1}, n_{2}}

$D_{n_{1},n_{2}}$

— Олексій

Добрий момент ... У короткому документі tomswebpage.net/images/K-S_test.doc згадується "Довідник з параметричних та непараметричних статистичних процедур, П'яте видання Девіда Дж. Шескіна (27 квітня 2011 р.)". запропонувати конструкцію з двох зразків для Д. Але на даний момент я не маю доступу до цієї книги.

— Майкл М

Чи є простий варіант тесту на еквівалентність тесту Колмогорова – Смірнова?