Всесвіти в теорії залежних типів

Я читаю про онлайн- теорію залежних типів в онлайн-книзі " Теорія типів гомотопії" .

У розділі 1.3 розділу Теорія типів вводиться поняття ієрархії Всесвітів : $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$ , де

кожен Всесвіт $\mathcal{U}_i$ є елементом наступного Всесвіту$\mathcal{U}_{i+1}$ . Крім того, ми припускаємо, що наші всесвіти є кумулятивними, тобто всі елементи Всесвіту також є елементами Всесвіту. ( i + 1 ) t $i^{\mathrm{th}}$$(i+1)^{\mathrm{th}}$

Однак, коли я дивлюся на правила формування для різних типів у додатку А, на перший погляд, якщо Всесвіт з'являється над смужкою як приміщення, той самий Всесвіт з’являється внизу. Наприклад, для правила формування типів копродуктів:

$$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$$

Тож моє запитання, чому потрібна ієрархія? За яких обставин вам потрібно перестрибнути з Всесвіту на один вищий в ієрархії? Мені насправді не очевидно, як за будь-якої комбінації ви можете закінчити тип який не в . Більш детально: правила формування у розділах додатку A.2.4, A.2.5, A.2.6, A.2.7, A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.3.2, будь-яка згадка в передумові і судження, або просто в суді. B U i U$A_m: \mathcal{U}_i$$B$$\mathcal{U}_i$$\mathcal{U}_i$

Книга також натякає, що існує формальний спосіб призначити всесвіти:

Якщо є сумніви щодо правильності аргументу, спосіб його перевірити - це намагатися послідовно присвоювати рівні всім всесвітам, що в ньому з'являються.

Який процес послідовного призначення рівнів?

$\mathcal{U}:\mathcal{U}$ призведе до парадоксу Рассела . Уникнення парадоксу Рассела прямо згадується у книзі (стор. 24). Він також детальніше описується на сторінці 54, 55, яка використовує «Всесвіти у стилі Рассела», а не «Всесвіти в стилі Тарскі». Тож на дуже високому рівні я вважаю за належне, що теорія хоче уникнути парадоксу. На жаль, у мене немає досвіду, щоб зрозуміти це безпосередньо. Що я хочу отримати в цьому запитанні, насправді просто подряпати поверхню, отримавши кілька прикладів речей у а не в для і може бути що-небудь інше, що дає мені відчути як працюють ієрархії.U i j>$\mathcal{U}_j$$\mathcal{U}_i$$j > i$

Питання, за яких обставин нам потрібно перейти від світобудови до однієї вищої в ієрархії, є хорошим. Важлива наявність ієрархії та вміння підніматися. Вам потрібно стрибати рівні, коли ви хочете ставитися до Всесвіту як до типу або як до частини типу. Наприклад, для визначення функцій (незалежного) типу ви повинні показати, що знаходиться у Всесвіті. Але це не може бути чи якийсь менший Всесвіт. То що ми робимо? Щоб вирішити проблему (не використовуючи незвучне ), нам потрібно стрибнути всесвітом. Правило, яке дозволяє нам здійснити цей стрибок, є ⊢ Γ : c A → U i U i U i : U i

$$A \rightarrow \mathcal{U}_i$$ $A \rightarrow \mathcal{U}_i$$\mathcal{U}_i$$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$$\mathcal{U}$ -Intro наведений у додатку A.2.3. Сама суть ієрархії всесвітів полягає в тому, що ми можемо це зробити. Це можна розглядати як безпечне наближення того, що всесвіти містять себе. $$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$$

$X : \mathcal{U}_i$$i \leq j$$X : \mathcal{U}_j$$A : \mathcal{U}_{42}$$A \to \mathcal{U}_{99}$$\to$

$$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$$ $X \to Y$$\Pi_{x : X} Y$$\Pi$$A$$\mathcal{U}_{42}$$\mathcal{U}_{99}$$\mathcal{U}_{100}$$A : \mathcal{U}_{100}$також продовжуйте показувати, що має тип U 100 .$A \to \mathcal{U}_{99}$$\mathcal{U}_{100}$

$\to$ або Γ⊢X: U

$$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$$ $$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$$