Зведення продуктів в HoTT до кодування церкви / скотта

Тому я зараз хочу книгу HoTT з деякими людьми. Я висловив твердження, що більшість індуктивних типів, які ми побачимо, можна звести до типів, що містять лише залежні типи функцій та всесвіти, приймаючи тип рекувера як натхнення для еквівалентного типу. Я почав замальовувати, як я вважав, що це спрацює, і після деякого спотикання я прийшов до того, що вважав відповіді.

\cdot \times \cdot \equiv \prod_{А, Б, С : U} (А \to Б \to С) \to С

$\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : \mathcal{U}} (A \to B \to C) \to C$

(\cdot, \cdot) \equiv λ а : А . λ б : Б . λ С : U . λ г : А \to Б \to С . г (а) (б)

$(\cdot, \cdot) \equiv \lambda a : A. \lambda b : B. \lambda C : \mathcal{U}. \lambda g : A \to B \to C. g(a)(b)$

i н г_{А \times Б} \equiv λ С . λ г . λ p . г (p r_{1} (p)) (p r_{2} (p))

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. g(pr_1(p))(pr_2(p))$

Це дає правильні визначаючі рівняння (визначення рівнянь для та опущених), але це означатиме, що матиме неправильний тип. $pr_1$ $pr_2$ $ind_{A \times B}$

{інд}_{А \times Б} : \prod_{С : А \times Б \to U} (\prod_{а : А} \prod_{б : Б} С ((а, б))) \to \prod_{p : А \times Б} С ((p r_{1} (p), p r_{2} (p)))

$\text{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to \mathcal{U}} (\prod_{a:A} \prod_{b:B} C((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C((pr_1(p), pr_2(p)))$

І, схоже, цього немає простого виправлення. Я також думав про наступне визначення.

i н г_{А \times Б} \equiv λ С . λ г . λ p . p (С (p)) (г)

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. p(C(p))(g)$

Але це просто не перевіряється.

Ще одна ідея, яку я мав - це використовувати для перетворення в але незрозуміло, як змусити цю роботу. По-перше, я повинен показати, як зменшити типи ідентичності залежно від типів функцій, що виявляється ще складніше в моїх скреблінгах, ніж продукти. Крім того, не здається визначити без належної форми індукції, тому навіть якби я дозволив собі типи ідентичності, як це представлено в книзі, я б не наблизився до визначення $uniq_{A \times B}$ $C((pr_1(p), pr_2(p)))$ $C(p)$ $uniq_{A \times B}$ $uniq_{A \times B}$

Тому, схоже, ми можемо тут визначити рекурсор, але не індуктор. Ми можемо визначити щось, що дуже схоже на індуктор, але не зовсім вдається. Рекурсія дозволяє нам виконувати логіку, приймаючи цей тип як сенс логічної сполуки, але це не дозволяє нам доводити речі про продукти, яких, здається, не вистачає.

Чи можемо ми зробити таке зменшення, на яке я стверджував, що можна зробити? Тобто чи можемо ми визначити тип, використовуючи лише залежні типи функцій та універсури, які мають функцію сполучення та індуктор з тими ж визначаючими рівняннями та типами, що й продукти? Це моє зростаюча підозра, що я висунув помилкову претензію. Здається, що ми можемо так розчаровуватись близько, але просто не зовсім вдається. Якщо ми не можемо визначити, який аргумент пояснює, чому ми не можемо? Чи підвищують міцність системи продукти, представлені в книзі HoTT?

— Джейк
джерело

Наскільки я розумію, звичайне кодування Церкви дає нам тип, який допускає незалежне усунення (рекурсор), але не залежне усунення (індуктор). Ваше питання може бути пов'язане з цим . Я не впевнений, якщо HoTT щось з цього приводу змінить.

— чі

Це здається корисним. Як я це розумію, на моє запитання відповіли б прогнозоване обчислення типів конструкцій (Coq мінус (co) індуктивні). Я шукав папери, які переглядають ці моделі (моделі CoC, які не є моделями CiC), але не можу їх знайти. У вас випадково є джерело?

— Джейк

На жаль, я не маю довідок поділитися. Мені б також цікаво мати джерело, щоб цитувати цей фольклорний факт.

— чи

Я також продовжую знаходити фольклорні посилання на цей факт, але не можу знайти пояснення.

— Джейк

Приємне запитання, але чи не підійде він краще на cstheory.stackexchange.com

— Martin Berger

Відповіді:

Стандартне посилання, яке я часто даю, - це індукція, яку не можна вивести в теорії залежного типу другого порядку від Германа Джувера, яка говорить про те, що не існує типу

N : Т у p е

$N : \mathrm{Type}$

Z : N S : N \to N

$Z:N\qquad S:N\rightarrow N$

такий як

i н г : Π П : N \to Т у p е . П Z \to (Π м : N . П м \to П (S м)) \to Π н : N . П н

$\mathrm{ind}:\Pi P:N\rightarrow \mathrm{Type}.P\ Z\rightarrow (\Pi m:N.P\ m\rightarrow P\ (S\ m))\rightarrow \Pi n:N. P\ n$

є доказовим. Це говорить про те, що дійсно таке кодування не може працювати для пар, як ви описуєте.

Система, для якої доведено, - це підмножина підрахунку конструкцій, яка містить потужні типи продуктів і всесвіт. Я підозрюю, що цей результат може бути поширений на систему, яка вас зацікавила, залежно від того, що у вас є.

На жаль, я не знаю повної відповіді на ваше запитання. Я підозрюю, що додавання певних принципів параметричності "внутрішньо" - це саме те, що потрібно, щоб ці кодування працювали за принципом повної індукції. Ніл Крішнасвамі, знання якої є моїм суворим набором, написав документ разом з Дереком Дреєром:

Інтерналізація реляційної параметричності в розширенні обчислення конструкцій

Також цікавий наступний документ Бернарді, Янссона та Паттерсона (Бернарді глибоко продумав ці теми):

Параметричність та залежні типи

Очевидно, параметричність має міцний зв’язок із HoTT загалом, але я не знаю, у чому деталі. Я думаю, що Стів Аудей розглядав ці питання, оскільки хитрість кодування корисна в контекстах, де ми насправді не знаємо, як повинні виглядати елімінатори.

— коді
джерело

Щоб ваша ідея працювала, вам потрібно щось додаткове, на що вказувалося у відповіді @ cody. Сем Спейт працював під керівництвом Стіва Уоді, щоб побачити, чого можна досягти в HoTT за допомогою непередбачуваної всесвіту, див. Непредметні кодування індуктивних типів у публікації блогу HoTT .

— Андрій Бауер
джерело