Чи відносяться докази того, що постійний не є рівномірним ?

Це продовження цього питання і пов'язане з цим питанням Шиви Кіналі.

Звісно ж , що докази в цих роботах ( Аллендер , Caussinus-Маккензі-Therien-VOLLMER , Koiran-Perifel ) використовують ієрархію теорем. Хочу знати, чи докази є " чистими " теоремами діагоналізації, чи вони використовують щось більше, ніж звичайна діагоналізація. Отже, моє запитання

чи є розумна релятивізація, яка ставить постійне в єдину ? $\mathsf{TC^0}$

Зауважте, що я не впевнений, як визначити доступ до Oracle для рівномірного , я знаю, що знайти правильне визначення для класів невеликої складності нетривіально. Інша можливість полягає в тому, що постійне не є повним для у релятивізованій Всесвіті, і в такому випадку я повинен використовувати якусь повну проблему для замість неї в релятивізованій Всесвіті, і я думаю повинна мати повну проблему в будь-якому розумному релятивізованому Всесвіті. $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{\#P}$ $\mathsf{\#P}$ $\mathsf{\#P}$

— Каве
джерело

Як ви визначаєте релятивізовану версію постійної? Або ви шукаєте релятивізований світ, де PP⊆TC ^ 0?

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi: Проблема в тому, що я не впевнений у доказі того, що постійне є повним для . Мені здається, що доказ того, що постійний не є в єдиному працює також для будь-якої іншої повної проблеми. Розумна релятивізація, яка ставить всередині , відповіла б на моє запитання.

s h a r p P

$sharpP$

T C^{0}

$TC^0$

s h a r p P

$sharpP$

T C^{0}

$TC^0$

— Каве

Я не впевнений, що ви маєте на увазі під "розумною" релятивізацією. Для будь-яких двох класів складності можна зрівняти їх, взявши досить сильний оракул, чи не так? Напр. . (Перший клас - з "воротами QBF".)

A C 0^{P S P A C E} = P S P A C E = P S P A C E^{P S P A C E}

$AC0^{PSPACE} = PSPACE = PSPACE^{PSPACE}$

A C 0

$AC0$

— Райан Вільямс

@Ryan: Я вважав, що спосіб визначення доступу до оракула є важливим, і якщо визначення невірно, то можуть статися дивні речі. Наприклад, дивіться це cs.toronto.edu/~sacook/homepage/rel-web.ps . (зауважте: я не пам’ятав, що вони також обговорюють ) Машина з більшою кількістю ресурсів може задавати складніші запитання, ніж більш обмежена форма того ж оракула, і саме тому у нас немає (розумне ) релятивізація, яка зробила б DTime (n) = DTime ( ), тому мені здається, що це не так прямо, як ви говорите, чи не так?

T C^{0}

$TC^0$

n^{2}

$n^2$

— Kaveh

(ієрархія часу журналу)

, тому не повинно бути розумної релятивізації, яка зробила б

. Я відчуваю, що щось, мабуть, не так з моїми міркуваннями в попередньому рядку, чи знаємо ми

A C^{0} = L H

$AC^0 = LH$

\subset P H \subseteq P S p a c e

$\subset PH \subseteq PSpace$

A C^{0} = P S p a c e

$AC^0 = PSpace$

L H \subset P H

$LH \subset PH$

— Каве

Будь-яке розділення класів, закритих під "поліноміальними ресурсами", має оракул, що робить їх рівними. (Це за умови, що механізм oracle є справедливим і дозволяє обом моделям машин робити запити довжини поліномів і не більше.)

Нехай буде " з воротами для Oracle ". Нехай - це повна мова при скороченні , маємо , де в механізмі oracle для $TC0^{O}$ $TC0$ $O$ $O$ $PSPACE$ $TC0$ $TC0^{O} = PSPACE = PSPACE^{O} = PP^{O}$ , ми підраховуємо використання місця Oracle стрічки разом з рештою пам'яті. (Отже, запитуються лише запити довжини поліномів.) Така рівність справедлива для багатьох класів, "закритих під поліноміальними ресурсами", в тому сенсі, що вони можуть задавати запити довжини поліноміально до оракула, але не більше. Ці класи включають такі речі, як , , (за іншим механізмом oracle, який не враховує запити oracle у напрямку пробілу), , , і $PSPACE$ $AC0$ $TC0$ $LOGSPACE$ $P$ $NP$ $PH$ . Тож будь-яке розділення класів у цьому списку обов’язково повинно використовувати якийсь аргумент "нерелятивізуючого". Це також означає (наприклад,), що природні докази таких речей, як Парність, не в є нерелятивізуючими (але це ще простіше: тут все, що вам потрібно, - це оракул для паритету, тому ви отримуєте ). $PP$ $AC0$ $AC0[2]$

У колекції доказів, які ви цитуєте, я вважаю, що більшість із них (якщо не всі) працюють, приймаючи і виводячи протиріччя. Такі види результатів називаються "непрямою діагоналізацією". Так релятивизация їх доказ було б сказати: «якщо , то протиріччя ...» , але це припущення на насправді вірно для деяких оракулів . $TC0 = PP$ $TC0^{O} = PP^{O}$ $O$

У коментарях вказувалося, що так, як я ним користуюся. Це лише тонкощі з механізмом oracle. З боку LOGSPACE стрічка запиту не може бути частиною обмеженого простору, оскільки запити мають поліномальну довжину. На стороні PSPACE, стрічка запиту є $LOGSPACE^{O} = PSPACE^{O}$ взяті як частина зв'язаного простору. Це повинно було зробити речі «справедливими». Але якщо ви дасте їм абсолютно той самий механізм оракула, то дійсно ви зможете їх знову розділити за допомогою діагоналізації. Наприклад, якщо запити не враховуються пробілом, то в PSPACE ^ {PSPACE} ви можете задавати експоненціально довгі запитання до PSPACE, тому це насправді містить EXPSPACE. Прошу вибачення за те, що раніше я не говорив про це прямо.

Обчислення, обмежене космосом, є дуже тонким щодо оракул. Див. Сторінку 5 цієї статті від Fortnow, щоб отримати хороший підсумок того, чому обчислення на оракулі та обмеженому простором не завжди поєднуються.

— Райан Вільямс
джерело

Дякуємо за коментар щодо PSPACE ^ {PSPACE}, що містить EXPSPACE у моделі, яку ми використовували для LOGSPACE. Моя плутанина очищена.

— Робін Котарі

Дивіться також Aehlig, Cook and Nguyen, релативізуючі класи невеликої складності та їх теорії .

— Yuval Filmus