Система підтвердження суми квадратів

Нещодавно я побачив кілька статей про arxiv, які стосуються системи доказування, званої sum-of-квадратами.

Чи може хтось пояснити, що є доказом суми квадратів і чому такі докази важливі / цікаві?

Як вони пов'язані з іншими алгебраїчними системами доказування? Вони якісь подвійні для Лассера?

Деякі огляди наведені на arxiv.org/abs/1211.1958 . Основна система SOS визначена переходом на сторінці 3 (шукайте Григор’єва та Воробйова).

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

@Emil, здається, що в документі містяться відповіді на запитання у публікації (він пояснює систему, її історію та відповідність останнім роботам), чому б не опублікувати ваш коментар як відповідь?

— Каве

@ EmilJeřábek Я прийму ваш коментар, якщо ви опублікуєте розширену версію його як відповідь.

— Анонім

Гаразд, я це зробив, хоча хотів би віддати перевагу, якби на нього відповів хтось, хто насправді розуміє ці системи.

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Відповіді:

Основна система підтвердження суми квадратів, введена під назвою спростувань Позитивстелленсатца Григорьовим та Воробйовим , є "статичною" системою доказування, що показує, що набір поліноміальних рівнянь та нерівностей де

S = {f_{1} = 0, \dots, f_{k} = 0, h_{1} \geq 0, \dots, h_{m} \geq 0},

$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$

не має спільного рішення в

: спростування

задається поліномами

таким, що

f_{1}, \dots, f_{k}, h_{1}, \dots, h_{m} \in R [x_{1}, \dots, x_{n}]

$f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$

R^{n}

$\mathbb R^n$

S

$S$

g_{i}

$g_i$

e_{I, j}

$e_{I,j}$

(Можна було б працювати з будь-яким реальним закритим полем замість

) Positivstellensatz Stengle гарантує, що

має спростування тоді і лише тоді, коли воно не має рішення. Основна міра складності тут -ступіньспростування, що є максимумом загальних градусів многочленів, що з’являються під знаками суми в

, тобто

та

\begin{matrix} (*) & - 1 = \sum_{i = 1}^{k} g_{i} f_{i} + \sum_{I \subseteq {1, \dots, m}} \sum_{j} e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i} . \end{matrix}

$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$

R

$\mathbb R$

S

$S$

(*)

$(*)$

g_{i} f_{i}

$g_if_i$

e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i}

$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

Як і звичайно з алгебраїчними системами доказування, можна також розглядати це як систему спростування незадовільних булевих формул , включивши в аксіоми для кожної змінної та переклад на поліноміальні нерівності. $\phi$ $S$ $x_i^2-x_i$ $x_i$ $\phi$

Більше про історію та розвиток систем SOS можна прочитати на веб-сайті http://arxiv.org/abs/1211.1958 .

— Еміль Йерабек підтримує Моніку
джерело

Чи є стандартна книга?

Чи є тут використання теорії моделей?

Laserre нещодавно написав книгу про аспекти оптимізації. "Вступ до поліноміальної та напівалгебраїчної оптимізації", опублікований Cambridge University Press.

— Чандра Чекурі

$p(\vec{x}) \geq 0$ $p(\vec{x})$ $\vec{x}$

Правила висновку:

$\over x^2-x \geq 0$
$\over x-x^2 \geq 0$
$\over p(\vec{x})^2\geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
$p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$ $c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

$p(\vec{x})^2\geq 0$

Є приємні зв’язки з напіввизначеним програмуванням та алгоритмами наближення.

Для більш детальної перевірки нещодавньої розмови Альберта Ацеріаса на семінарі BIRS Теоретичні основи прикладного рішення SAT :

Альберт Ацеріас , Міні-підручник з напівалгебраїчних систем захисту ( слайди ), 2014 р.

— Каве
джерело

Чи така формула така, як у Еміля? Ваш "динамічний", а значить, дозволяє отримати докази, схожі на DAG, де Еміль "статичний", а значить, відповідає вашій деревній версії. Отже, мабуть вони різні за складністю (наприклад, ступінь, розмір за кількістю одночленів та кількістю рядків). Це правда?

— Іддо Цамарет

@Iddo, я думаю, ти маєш рацію. Міра складності може бути не однаковою. Альберт пояснює у своїй розмові дуже коротко відповідність основній цікавій мірі складності, якщо я правильно пам’ятаю, але якщо хтось цікавиться іншими заходами, то необхідно бути більш уважними у формулюванні.

— Каве

@Kaveh Я поставив два пов'язані питання, якщо ви можете допомогти, (1) cstheory.stackexchange.com/questions/30930/… (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/…

— user6818