Нижня межа для визначального та постійного

У світлі останньої безодні на глибину 3 результаті (який серед іншого дає $2^{\sqrt{n}\log{n}}$глибина-3 арифметичної схеми длядетермінанта над),мене є наступні питання: Григор'єв і Карпіньскійдовелинижня межі для будь-якої глибини -3 обчислення арифметичної схеми Визначникматриць над скінченними полями (що, мабуть, також має місце для Постійного). Формула Райзерадля обчислення Постійного дає арифметичну схему глибини-3 розміром. Це показує, що результат по суті є жорстким для ланцюгів глибини 3 для Постійних над кінцевими полями. У мене є два питання:$n \times n$$\mathbb{C}$$2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$

1) Чи існує формула глибини 3 для визначника, аналогічного формулі Райзера для Постійного?

2) Чи дає нижня межа розміру арифметичних схем, що обчислюють многочлен Детермінант \ textit {завжди}, нижню межу для Постійного многочлена? (Над $\mathbb{F}_2$ вони є такими ж поліномами).

Хоча моє запитання зараз стосується цих поліномів над кінцевими полями, я також хотів би дізнатися про стан цих питань над довільними полями.

Постійне є повною для ВНП під p-проекціями над будь-яким полем, не характерним 2. Це дає позитивну відповідь на ваше друге запитання. Якби це зменшення було лінійним, воно дало б позитивну відповідь на ваше перше питання, але я вважаю, що це залишається відкритим.

Більш детально: існує деякий поліном такий, що d e t n ( X ) - проекція p e r m q ( n ) ( Y ) , тобто є певна підміна, що надсилає кожну змінну y i j або до змінної x k ℓ або константи, такої, що після цієї заміни q ( n ) × q ( n ) постійної обчислює $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$$n \times n$ визначник.

1) Таким чином, формула Райзера дає формулу глибини 3 (глибина не збільшується за прогнозами, оскільки заміни можна зробити на вхідних воротах) розміром для визначального. ОНОВЛЕННЯ : Як в коментарях зазначає @Ramprasad, це дає лише щось нетривіальне, якщо q ( n ) = o ( n log n ) , оскільки існує тривіальна формула глибини 2 розміром n ⋅ n ! = 2 O ( n журналу n $2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$за діт. Я з Рампрасад, що найкраще, що я знаю, - це зменшення через АБП, що дає $q(n)=O(n^3)$ .

2) Якщо постійний можна обчислити - знову ж, над деяким полем характеристики не 2 - схемою розміру s ( m ) , то n × n визначник може бути обчислений схемою розміру s ( q ( n ) ) . Отже нижня межа b ( n ) на розмір ланцюга для d e t n дає нижню межу b ( q - 1 ( n ) ) q зворотного , а не$m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$ на розмір контуру для постійного (це$q$ ). Вищезазначена д ( п ) = Про ( п 3 ) дає Ь ( п 1 / 3 ) завивка нижньої межі з Ь ( п ) DET нижньої межі.$1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

Цілком можливо, що детермінант певним чином важче постійного. Вони обидва полінома, ранг Варінга (суми n потужностей лінійних форм) постійного становить приблизно 4 ^ n, ранг Чоу (суми добутків лінійних форм) приблизно 2 ^ n. Очевидно, що Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Чоу Ранг. Для визначального значення ці числа є лише нижчими межами. З іншого боку, я довів деякий час тому, що ранг Варінга визначника є верхньою межею (n + 1)! і це може бути близьким до істини.