Детермінанти та множення матриць - подібність та відмінності алгоритмічної складності та розміру арифметичної схеми

Я намагаюся зрозуміти взаємозв'язок між алгоритмічною складністю та складністю ланцюга детермінантів та матричним множенням.

Відомо, що визначник матриці може бути обчислений за часом , де - мінімальний час, необхідний для множення будь-яких двох матриць. Відомо також, що найкраща складність ланцюгів детермінант є поліноміальною на глибині і експоненціальною на глибині 3. Але складність ланцюга множення матриць, при будь-якій постійній глибині, є лише многочлена. $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$

Чому існує різниця в складності ланцюга для визначників та множення матриць, хоча відомо, що з точки зору алгоритму детермінантний розрахунок є подібним до множення матриці? Зокрема, чому складності ланцюга мають експоненціальний зазор на глибині ? $3$

Можливо, пояснення просте, але я цього не бачу. Чи є пояснення з "суворістю"?

Також дивіться у: Найменша відома формула визначника

— Т….
джерело

Відповіді:

Розглянемо задачу величини схеми та оцінку булевої формули для різних класів невеликої складності. Наскільки ми знаємо, детерміновані послідовні часові складності їх подібні, наскільки ми знаємо, але вони дуже відрізняються від складності схеми. Подібність одного конкретного типу ресурсів на одній моделі не означає подібності з іншими ресурсами в інших моделях. Одна проблема може бути такою, що ми можемо використовувати паралельні обчислення для одного, тоді як ми не можемо зробити це для іншого, але їх послідовність у часі може бути однаковою.

Коли ми можемо очікувати більш міцного зв’язку між складністю двох проблем у різних моделях та різними ресурсами? Коли вони надійно скорочуються між ними в обох напрямках, що враховує ресурси в цих моделях.

Правка: множення має субекспоненціальну величину глибиною 3 ланцюга. Доведення нижньої межі цього виду для визначника визначить, що це не в відокремлює його від що невідомо. $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— Каве
джерело

"множення має субекспоненціальний розмір глибиною 3 ланцюга." Я думаю, що множення має розмір ланцюга на будь-якій глибині, оскільки воно включає лише витягнення змінних і множення їх у певному порядку та додавання проміжних продуктів.

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

— Т ....

Множення двох цілих чисел є повним для і тому не в .

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Каве

Я зараз дивлюся лише на послідовну складність.

— Т ....

Я не впевнений, чи слідкую за вашим коментарем. Я думаю, що моя публікація відповідає на питання в булевій установці (в цьому питанні не згадувалися арифметичні схеми спочатку IIRC). Про налаштування арифметичної схеми я не знаю багато, сподіваємось, інші відповідуть на питання.

— Каве

Я б сказав, що розрив в арифметичних настройках говорить нам про те, що множення матриць за своєю суттю набагато паралельніше завдання, ніж визначальна. Іншими словами, хоча послідовності складності обох проблем тісно пов'язані, їх паралельні складності не такі близькі одна від одної.

Відповідним документом є алгоритми інверсії швидкої паралельної матриці Чсанкі, де він доводить, що арифметична складність обчислення детермінанта матриці (тобто глибина арифметичної схеми, що обчислює визначник) задовольняє Наскільки мені відомо, це все ще найвідоміші межі цієї проблеми. Це слід порівняти з тривіальною арифметичною схемою глибини обчислює матричне множення, заданим формулою . $D(n)$ $n\times n$

O (\log n) \leq D (n) \leq O (\log^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— Бруно
джерело

Я не знаю, чи це привід для того, "чому складності ланцюга мають експоненціальний зазор на глибині 3?", Але принаймні ви маєте доказ цього факту - це документ Csanky.

— Бруно

Якщо я правильно розумію, ви маєте на увазі: щоб мати поліноміальне число процесорів, потрібна логарифмічна глибина?

— Т ....

Я не пам'ятав точну модель Csanky. Власне, він розглядає те, що ми сьогодні називаємо арифметичними схемами з обмеженим вентилятором . Таким чином, нижня межа досить тривіальна, і моє порівняння з матричним множенням не має значення.

— Бруно