Коли (або повинен) теоретичний КС піклується про інтуїтивні докази?

З того, що я розумію (що дуже мало, тому, будь ласка, виправте мене, де я помиляюся!), Теорія мов програмування часто стосується "інтуїтивістських" доказів. З моєї власної інтерпретації, підхід вимагає від нас серйозно сприймати наслідки обчислень щодо логіки та доцільності. Доказ не може існувати, якщо не існує алгоритму, який будує наслідки з гіпотез. Ми могли б відкинути як аксіому принцип виключеного третього, наприклад, тому що він володіє якоюсь - то об'єкт, який є або або ¬ X , nonconstructively.$X$$\lnot X$

Наведена вище філософія може привести до того, щоб ми віддавали перевагу інтуїтивно-обгрунтованим доказів перед тими, які їх немає. Однак я не бачив жодного занепокоєння щодо фактичного використання інтуїтивістської логіки в роботах в інших областях теоретичного КС. Ми, здається, щасливі доводити свої результати, використовуючи класичну логіку. Наприклад, можна уявити, використовуючи принцип виключеної середини, щоб довести, що алгоритм правильний. Іншими словами, ми дбаємо про серйозний обчислювальний всесвіт у своїх результатах та сприймаємо їх серйозно, але необов'язково в наших доказах цих результатів.

1. Чи стурбовані дослідники теоретичного КС щодо написання інтуїтивно-вагомих доказів? Я міг би легко уявити підполе теоретичної інформатики, яке прагне зрозуміти, коли результати TCS, особливо алгоритмічні, мають інтуїтивістичну логіку (або, що цікавіше, коли вони не мають). Але я ще жодного не натрапила.

2. Чи є якийсь філософський аргумент, який вони повинні? Здається, можна стверджувати, що результати інформатики повинні бути доведені інтуїтивно, коли це можливо, і ми повинні знати, які результати вимагають, наприклад, PEM. Хтось намагався зробити такий аргумент? Чи, можливо, існує консенсус, що це питання просто не дуже важливе?

3. Як побічне запитання, мені цікаво знати приклади випадків, коли це насправді має значення: Чи є важливі результати TCS, які, як відомо, мають класичну логіку, а не інтуїтивістичну логіку? Або підозрюється, що не тримається в інтуїтивістській логіці.

Вибачте за м'якість питання! Може знадобитися переформулювання або переосмислення після заслуховування експертів.

Як я вже говорив у коментарях, інтуїціоністська логіка не є головним моментом. Більш важливим моментом є наявність конструктивного доказу. Я думаю, що теорія типу Мартіна-Лефа набагато більше стосується теорії мови програмування, ніж інтуїтивістської логіки, і є експерти, які стверджують, що робота Мартіна-Лефа є основною причиною відродження загального інтересу до конструктивної математики.

Обчислювальна інтерпретація конструктивності - одна з можливих перспектив, але вона не єдина. Ми повинні бути обережними тут, коли хочемо порівняти конструктивні докази з класичними доказами. Хоча обидва можуть використовувати однакові символи, те, що вони означають під цим символом, є різним.

Завжди добре пам’ятати, що класичні докази можна перекласти на інтуїтивні докази. Іншими словами, у певному сенсі класична логіка є підсистемою інтуїтивістської логіки. Тому ви можете реалізувати (скажімо, використовуючи обчислювані функції) класичні докази в певному сенсі. З іншого боку, ми можемо розглядати конструктивну математику як якусь математичну систему в класичній обстановці.

$A \lor B$$A \lor B$$\lor$

$\forall x \ \exists y \ \varphi(x,y)$$x$$y$$\varphi(x,y)$$y$$y$$x$$A$$x$$\varphi(x,A(x))$$A$

Тепер чому ми не використовуємо інтуїціоністську логіку на практиці? Причин кілька. Наприклад, більшість з нас не навчені такому настрою. Також знайти класичний доказ твердження може бути набагато простіше, ніж знайти конструктивний доказ цього. Або ми можемо дбати про деталі низького рівня, які приховані та недоступні в конструктивній обстановці (див. Також лінійну логіку ). Або ми можемо просто не зацікавитись тим, щоб отримати додаткові речі, які є конструктивними доказами. І хоча існують інструменти для вилучення програм з доказів, ці інструменти, як правило, потребують дуже детальних доказів і не є досить зручними для користувачів загальним теоретиком. Коротше кажучи, занадто багато болю для занадто малої користі.

$\Pi^0_2$$PA$$PA$$PA$

Я пам’ятаю, що Дуглас С. Бріджес у вступі до своєї книги теорії обчислюваності стверджував, що ми повинні доводити наші результати конструктивно. Він наводить приклад, який IIRC по суті є таким:

Припустимо, що ви працюєте у великій компанії з програмним забезпеченням, і ваш менеджер просить вас програму для вирішення проблеми. Чи було б прийнятним повернутися з двома програмами і сказати своєму менеджеру одне з цих двох рішень правильно, але я не знаю, яка з них?

Зрештою, ми повинні мати на увазі, що хоча ми використовуємо однакові символи для класичної та інтуїтивістської логіки, ці символи мають різні значення, а той, який потрібно використовувати, залежить від того, що ми хочемо висловити.

Для вашого останнього запитання я думаю, що теорема Робертсона – Сеймура була б прикладом теореми, про яку ми знаємо, що вона є класичною правдою, але у нас немає ніяких конструктивних доказів. Дивись також

• Чи є докази існування неконструктивного алгоритму?

Варто задуматися, Чому інтуїціоністична логіка є природною логікою для обчислень, оскільки надто часто люди губляться в технічних деталях і не в змозі зрозуміти суть проблеми.

Класична логіка дуже просто - це логіка досконалої інформації: всі твердження в системі вважаються відомими або відомими як однозначно правдиві або неправдиві.

Інтуїціоністична логіка, з іншого боку, має місце для тверджень з невідомими і незвіданими значеннями істини. Це має важливе значення для обчислення, оскільки, завдяки невизначеності закінчення у загальному випадку, не завжди буде впевнено, якою буде істинність деяких тверджень, або навіть, чи може істинність істини колись присвоюватися певним твердженням .

$\neg\neg P \implies P$

На мою думку, ці "смислові" причини є набагато важливішою мотивацією використання інтуїціоністичної логіки для обчислення, ніж будь-які інші технічні причини, які можна було б маршалити.

Функції криптографічного хешу в реальному світі, такі як MD5 & SHA, не мають клавіш. Як такий, досить важко застосовувати методи з теоретичної криптографії до міркувань про їхню безпеку. Проста причина, чому для будь-якої функції без хеш-клавіш існує дуже мала програма / супротивник, яка виводить зіткнення під цю хеш-функцію; а саме програма, яка має таке зіткнення - яка повинна існувати! - жорстко закодований.

Документ Філа Рогауея " Формалізація людського невігластва: стійкість до зіткнення без стискань" вирішує цю проблему. У ньому він показує, що деякі дуже стандартні теореми для ключових хеш-функцій (наприклад, парадигма конструкції Меркле-Дамґера та хеш-тоді-знак) можуть бути адаптовані та повторно доведені за допомогою тверджень теоретичних «зрозумілих для інтуїтивістів» застосувань до неперевершених хеш-функцій.

ось приємний розділ про інтуїціоністичну логіку із всеосяжної онлайн-книги " Логіка для комп'ютерних наук" , 300pp. [1] сек. 9.5, p210, підсумок p220:

Інтуїціоністська логіка виникла з конструктивістського руху в математиці, який відкидав неконструктивні докази існування або ті, що базуються на законі виключеної середини. Останнім часом зв’язок між інтуїтивістською математикою та програмуванням вийшов із зауваження, що пропозиції та типи (у сенсі програмування) є рівнозначними. Розвиток алгоритму в цій формальній системі, що ґрунтується на природній дедукції, полягає у написанні специфікації в логічній нотації, а потім, розглядаючи це як тип, доказуючи, що він не порожній. Оскільки основна логіка є конструктивним доказом, якщо її можна здійснити,

Ще одна перспектива поблизу походить від написання TCSist Андрія Бауера на тему "Математика та обчислення; математика для комп'ютерів" [2], який в основному пропонує, що "інтуїтивістська математика корисна для фізики". презентація в основному з точки зору фізики, але для тих, хто вважає, що КС тісно поєднаний з фізикою, ідеологія, як правило, стосується TCS.

Комп'ютерна інтерпретація. Це тлумачення інтуїтивістської логіки, зазвичай представлене в інформатиці. Ми розглядаємо всі набори, представлені відповідними структурами даних - розумну точку зору для комп'ютерного вченого. Тоді твердження вважається істинним, якщо існує програма (обчислювальні докази), що свідчить про її правду.

[1] Логіка для інформатики, Рівза та Кларка

[2] Інтуїціоністська математика для фізики Бауера