Максимальні класи, для яких найбільшу незалежну множину можна знайти в поліномі?

У ISGCI списки понад 1100 класів графів. Для багатьох із них ми знаємо, чи можна визначити НЕЗАЛЕЖНИЙ НАбір у поліноміальний час; їх іноді називають IS-легкими класами . Я хотів би скласти список максимальних IS-легких класів. Ці класи разом утворюють межу (відомої) простежуваності цієї проблеми.

Оскільки можна просто додати кінцеву кількість графіків до будь-якого нескінченного класу IS, не впливаючи на простежуваність, деякі обмеження в порядку. Давайте обмежимо класи тими, що мають спадковий характер (закриті під час прийняття індукованих підграфів, або рівнозначно, визначені набором виключених індукованих підграфів). Більше того, розглянемо лише ті родини, які не містять X для набору X з невеликим описом. Там , можливо , є також бути нескінченні висхідні ланцюжка слухняних класів (наприклад, $(P,\text{star}_{1,2,k})$-безкоштовно і класи, описані Девідом Еппштейном нижче), але давайте обмежимо увагу класами, які насправді виявились ІС-простими.

Ось які я знаю:

• ідеальні графіки
• -безкоштовно$(P,\text{star}_{1,2,5})$
• -безкоштовно$(K_{3,3}-e, P_5)$
• спільно Мейніель
• майже двосторонній
• без крісла
• ( , цвіркун) -вільний$P_5$
• -безкоштовно$(P_5,K_{n,n})$(для будь-якого фіксованого )$n$
• -безкоштовно$(P_5, X_{82}, X_{83})$

Чи відомі інші такі максимальні класи?

Редагувати: Див. Також пов’язане питання Ярослава Булатова, що стосується класів, визначених виключеними неповнолітніми, що легко для графіків, що не стосуються неповнолітніх? і бачити Глобальні властивості спадкових класів? для більш загального питання, яке я задавав раніше про спадкові класи.

Як в коментарях зазначає Юкка Суомела, справа про виключення другорядних осіб також є цікавою (і поставила б цікаве запитання), але тут не наголос.

Щоб уникнути прикладу Девіда, максимальний клас також слід визначати як графіки без X, де не кожен графік у X має незалежну вершину.

Класи, наведені у відповідях нижче:

• без яблук (запропоновано Standa Živný)
• $P_5$
• $K_2 \cup$

Додано 2013-10-09: нещодавній результат Локштанова, Ватшелле і Вільянджера, про який Мартін Ватшелле згадував у відповіді, замінює деякі відомі раніше максимальні класи.

$P_5$$P_5$$P_5$$K_{n,n}$$P_5$$X_{82}$$X_{83}$$P_5$

Це означає, що всі спадкові класи графів, визначені одним забороненим індукованим підграфом, що мають до п'яти вершин, тепер можуть бути остаточно класифіковані як IS-easy або IS-easy.

$P_5$$P_6$

$X$$X$$Y$$Y \subset X$

Питання вже трохи постарше, але тут може допомогти ISGCI.

Після запуску програми ISGCI Java та переходу до меню Проблеми -> Межі / Відкриті класи -> Незалежний набір, ви отримуєте діалогове вікно з 3 списками.

У списку Максимальний P містяться всі класи C (в ISGCI), на яких IS може бути розв’язаний у поліноміальний час, таким чином, що існує мінімальний надклас C, для якого IS невідомо, що знаходиться в P (тобто NP-повний, відкритий, або невідомо ISGCI). Вибір класу та натискання кнопки "Намалювати" намалюють клас та суперкласи, які можна знайти, перейшовши в BFS-стилі вгору до ієрархії включення настільки, наскільки це потрібно, щоб знайти клас, для якого ІС невідомо, що знаходиться в P.

У списку Мінімальний NP-повний йде навпаки: Він містить класи, на яких IS є NP-повним, таким чином, що не всі максимальні підкласи також є NP-повними. Малюнок знижується в ієрархії до тих пір, поки не буде знайдено клас, що не відповідає NP.

Відкритий список містить класи, для яких проблема є відкритою або невідомою. Малювання прогулянок над супер / підкласами до досягнення класу, який не є відкритим.

Створюючи малюнок, корисно встановити забарвлення для проблеми незалежного набору (Проблеми -> Колір для проблеми -> Незалежний набір).

Що стосується питання Станда Живного, у ISGCI перераховано наступні 20 класів із відомою складністю незваженої проблеми ІС, але з невідомою складністю для зваженого випадку (ISGCI не може розрізняти "простий" та "складний" поліноміальний алгоритми):

gc_11 розширений P ₄ -laden
gc_128 EPT
gc_415 добре покритий
gc_428 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₈ ) -безкоштовно
gc_648 (K _3,3 -e, P ₅ ) -безкоштовний
gc_752 спільний спадковий клік-Helly
gc_756 (E, P)
-вільний gc_757 (P, T ₂ )
-вільний gc_758 (P, P ₈ )
-вільний gc_759 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₉ )
-вільний gc_808 (C ₆ , K _{3, 3} + e, P, P ₇ , X ₃₇ , X ₄₁ ) -безкоштовно
gc_811 (P, зірка_1,2,5 )
-вільний gc_812 (P ₅ , P ₂ ∪ P ₃ )
-вільний gc_813 (P, P ₇ )
-вільний gc_818 (P, зірка _1,2,3 )
-вільний gc_819 (P, зірка _{1, 2,4} )
-вільний gc_841 (2K ₃ + e, A, C ₆ , E, K _3,3 -e, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X₉₈ , A, C ₆ , E, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X ₉₈ , антена, спів-антена, ко-доміно, спільна риба, будинок-близнюк, доміно, риба, будинок-близнюк) -безкоштовно
gc_894 ко-круговий ідеальний
gc_895 сильно круговий досконалий
(3K ₂ , E, P ₂ ∪ Р ₄ , нетто) -безкоштовно

Без сумніву, ряд цих алгоритмів буде відомий і для зваженого випадку. Доповнення та виправлення завжди вітаються за адресою, вказаною на веб-сторінці ISGCI!

Цікавим документом для перегляду може бути:

А. Брандштадт, В. В. Лозін, Р. Моска: Незалежні набори максимальної ваги у графіках, що не містять яблук, журнал SIAM з дискретної математики 24 (1) (2010) 239–254. doi: 10.1137 / 090750822

Нескінченний клас яблук визначається у вигляді циклів C_k, k> = 5, кожен зі стеблом.

Ви не згадуєте, чи включає ваше поняття IS-легкості зважена проблема ІС. Графіки, що не містять стільців (відомі також графіки без вил), відомі як IS-easy:

В. Е. Алексєєв, Поліноміальний алгоритм пошуку найбільших незалежних множин у графах без виделок, Дискретна прикладна математика 135 (1-3) (2004) 3–16. doi: 10.1016 / S0166-218X (02) 00290-1

Простежуваність зваженого випадку є нетривіальним розширенням, див .:

В. В. Лозін, М. Міланіч: Поліноміальний алгоритм знаходження незалежного набору максимальної ваги у графіку без вил, Журнал дискретних алгоритмів 6 (4) (2008) 595–604. doi: 10.1016 / j.jda.2008.04.001

Чи є інші (цікаві) класи, де зважена проблема ІС значно складніша / нерозв'язна / відкрита, ніж невагомий випадок?

За словами Василіса Джакумакіса та Ірени Русу, диск. Додаток Математика. 1997 р. (P5, будинок) -вільні графіки (так звані (P5, coP5) -вільні графіки) IS-прості.

Ще один, зафіксований ISGCI В. Лозіну, диску р. Моска . Додаток Математика. 2005 рік - це сімейство (K2 u кігті) графіків .

Можуть також існувати нескінченні висхідні ланцюги простежуваних класів

Виразно є нескінченні висхідні ланцюги. Якщо H - кінцевий набір графіків, для яких графіки H-вільні IS-прості, нехай H '- це графіки, утворені, додаючи до кожного графа незалежну вершину H. Тоді H-вільні графіки також IS-прості: просто застосуйте алгоритм H-free до безлічі сусідів кожної вершини. Наприклад, як описано в ISGCI, графіки, що не містять комах, є IS-простими з тієї причини, що co-gem - це P4 плюс незалежна вершина, а графіки без P4 - IS-легкі. Отже, ви, мабуть, хочете обмежити своє запитання максимальними класами, в яких не всі заборонені підграграфи мають незалежну вершину.

$P_5$

Нехай H є графіком щонайбільше 5 вершин, тоді складність множини Незалежних відома на класі H-вільних графіків.

$P_5$$H = P_2 \cup P_3$