Незначні закриті властивості, явно виражені MSO

Нижче MSO позначає монадичну логіку графіків другого порядку з кількісними вершинами та ребрами.

Нехай - другорядне замкнене сімейство графіків. З Робертсона і Сеймура теорії графів малої , що F характеризується кінцевим списком H 1 , H 2 , . . . , H k заборонених неповнолітніх. Іншими словами, для кожного графа G маємо, що G належить до F тоді і лише тоді, коли G виключає всі графіки H i як неповнолітні.$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$H_1,H_2,...,H_k$$G$$G$$\mathcal{F}$$G$$H_i$

Як наслідок цього факту, ми маємо формулу MSO , яке істинно на графі G тоді і тільки тоді , коли G ∈ F . Наприклад, для плоских графіків характерна відсутність графіків K 3 , 3 і K 5 як неповнолітніх, і тому легко чітко написати формулу MSO, що характеризує плоскі графіки.$\varphi_{\mathcal{F}}$$G$$G\in \mathcal{F}$$K_{3,3}$$K_5$

Проблема полягає в тому, що для багатьох приємних мінорних властивостей закритого графіка список заборонених неповнолітніх невідомий. Отже, хоча ми знаємо, що формула MSO, що характеризує сімейство графіків, існує, ми можемо не знати, що це за формула.

З іншого боку, може статися так, що можна створити чітку формулу для заданої властивості без використання теореми другорядних графів. Моє питання пов'язане з цією можливістю.

Запитання 1: Чи існує незначне закрите сімейство графіків , таким, що набір заборонених неповнолітніх не відомий, але відома якась формула MSO φ, що характеризує цей набір графіків?$\mathcal{F}$$\varphi$

Запитання 2: Чи відома якась явна формула MSO яка характеризує деякі наступні властивості?$\varphi$

1. Рід 1 (графік може бути вбудований у торус) (див. РЕДАКТУВАННЯ нижче)
2. Рід k для деякого фіксованого (див. EDIT нижче)$k>1$
3. k - зовнішняплощинність для деякої нерухомої $k> 1$

Буду вдячний за будь-які посилання або думки з цього приводу. Будь ласка, не соромтеся розглянути інші незначні закриті властивості, наведений вище список є лише ілюстративним.

Obs: Під явним я не маю на увазі обов'язково малий. Досить дати чіткий аргумент або алгоритм, що показує, як побудувати формулу, що характеризує дану властивість. Так само в контексті цього питання я вважаю родину заборонених неповнолітніх відомою, якщо хтось дав чіткий алгоритм побудови цієї сім'ї.

EDIT: Я знайшов документ Adler, Kreutzer, Grohe, який будує формулу, що характеризує графіки роду на основі формули, що характеризує графіки роду k-1. Отже, ця стаття відповідає на перші два пункти питання 2. З іншого боку, це не відповідає на питання 1, оскільки дійсно існує алгоритм, який будує для кожного k, сімейство заборонених неповнолітніх, що характеризують графіки роду k (див. Розділ 4.2). Тому ця родина "відома" в сенсі питання.$k$

У мене тут була відповідь, що стосується вершинних графіків, але вона не відповідає визначенню відсутності явного перешкоди, наведеного в цьому запитанні: є опублікований алгоритм пошуку набору обструкцій, хоча це занадто повільно, щоб ми не знали насправді що таке перешкода.

Отже, ось ще одна параметризована сім'я відповідей без цієї вади (принаймні, наскільки я знаю). З огляду на незначний замкнутий сімейство , і цілі до ≥ 1 , робить даний граф G Have до -ply покриття графа в F ? Багато з цього питання залишається невідомим: зокрема, гіпотеза Негамі, яка б характеризувала графіки, що мають плоський графік покриття, залишається недоведеною. І це малозначно закрито, оскільки будь-які кроки, які ви робите, щоб зробити неповнолітню з G, можна скопіювати у обкладинку.$F$$k\ge 1$$G$$k$$F$$G$

$k$$G$$F$$_2$

• $G$
• $(i,j)$$0\le i,j<k$$G$$i$$j$
• $G$
• $F$