Чи випливає нездатність складності Колмогорова з теореми фіксованої точки Ловевера?

Багато теорем і "парадоксів" - діагоналізація Кантора, нерозбірливість ненависті, невідповідність складності Колмогорова, незавершеність Геделя, незавершеність Хайтіна, парадокс Рассела тощо - всі вони мають по суті однакові докази діагоналізацією (зауважте, що це більш конкретно, ніж те, що вони можуть все це доведено діагоналізацією; швидше, відчувається, що всі ці теореми дійсно використовують однакову діагоналізацію; детальніше див., наприклад, Янофський , або для набагато коротшого та менш формалізованого опису мою відповідь на це запитання ).

У коментарі до вищезазначеного питання Сашо Ніколов зазначив, що більшість із них були особливими випадками теоретики фіксованої точки Ловевера . Якби всі вони були окремими випадками, то це був би хороший спосіб зафіксувати вищезгадану ідею: насправді був би один результат з одним доказом (Lawvere's), з якого все вищезазначене випливало як прямі наслідки.

Тепер, щодо незавершеності і нерозбірливості проблеми зупинки та їхніх друзів, Гелод добре знає, що вони випливають із теореми фіксованої точки Ловевера (див., Наприклад, тут , тут або Янофського ). Але я не відразу бачу, як це зробити для нерозбірливості складності Колмогорова, незважаючи на те, що основний доказ якось "той самий". Так:

Чи є невирішеність складності Колмогорова швидким наслідком - не вимагаючи додаткової діагоналізації - теореми фіксованої точки Ловевера?

— Джошуа Грохов
джерело

Я повинен сказати, що все, що я коли-небудь знав про цю тему, я дізнався з цього повідомлення в блозі від Андрея Бауера: math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Ніколов

@MaxNew: Нехай

обчислювана функція, обчислена за деякими ТМ

. Нехай

є наступним TM: при порожньому вході він починає проходити через рядки по одному, поки не знайде

і вихід

. Зауважте, що

для деяких

залежно лише від

. Тоді для будь-якого

такого, що

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

(будь-який достатньо великий

зробить), або немає такого

(у цьому випадку

), або

видає деякий

такий, що

(за побудовою), але факт, що

вихід

означає, що

, так

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Джошуа Грохов

@NealYoung: Схоже, але вони не зовсім відповідають на моє запитання. Зменшення від проблеми зупинки - це прийняття HALT "джерелом" нездатності, а потім використання скорочень. Але (наприклад) доказ, який я дав у коментарях вище, показує, що ви також можете сприймати K-складність як "джерело нездатності", але дуже подібним доказом до цього для HALT. Чи може подібний доказ насправді показати, що він є однаковим в якомусь технічному сенсі? (У цьому випадку, показуючи, що вони - всі випадки теореми Ловевера, яка мені здається сильнішою за багато видів скорочення.) Це те, що я насправді шукаю.

— Джошуа Грохов

@NealYoung: Так, це узагальнює теорему Роджера з фіксованою точкою. Але якщо ви будете вважати це лише теоремою Роджера, ви пропустите суть; справа в тому, що Ловевер достатньо загальний для того, щоб зафіксувати доказову стратегію багатьох різних доказів, окрім цієї у Роджера. Документ Йонофського, зв'язаний у цьому питанні, має на меті бути "без категорій" викладом теореми Лоувера, доброзичливим до людей, щодо яких теорія категорій Lawvere може залякати.

— Джошуа Грохов

Дивіться також cstheory.stackexchange.com/a/2830

— András Salamon

EDIT: Якщо додати застереження, що теорема Роджера з фіксованою точкою може бути не окремим випадком Ловевера.

Ось доказ, який може бути "близьким" ... Він використовує теорему Роджера з фіксованою точкою замість теореми Ловевера. (Див. Розділ коментарів нижче для подальшого обговорення.)

Нехай - складність Колмогорова рядка . $K(x)$ $x$

лема . не обчислюється $K$ .

Доказ .

Припустимо для суперечності, що обчислюється. $K$
Визначте як мінімальну довжину кодування будь-якої машини Тьюрінга з . $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
Існує константа така, що для всіх рядків . $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
Визначимо функцію такий , що , де , такі , що є мінімальною рядки таким чином, що . $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
Оскільки обчислюється, так і . $K$ $f$
By Roger's fixed-point theorem, $f$ has a fixed point, that is, there exists a Turing Machine $M_0$ such that $L(M_0) = L(M_0')$ where $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$ .
By the definition of $f$ in line 4, we have $L(M_0) = \{x\}$ such that $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$ .
Lines 3 and 7 imply $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$ .
But by the definition of $K'$ in line 2, $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$ , contradicting line 8.

— Neal Young
джерело

As far as I know Roger's fixed-point theorem is not an instance of Lawvere's fixed-point theorem. It is a variant, though, because in the effective topos it reads as follows: if

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$ is a mutlivalued surjection then

A

$A$ has the fixed-point property. (Lawvere's theorem in the effective topos is: if

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$ is a surjection then

A

$A$ has the fixed-point property.)

— Andrej Bauer

Above my pay grade, @AndrejBauer -- I don't know category theory. Tried reading this and your answer here. Still don't get it. Can you tell me, in your comment above, for Rogers' theorem, what do you take for the function

f

$f$ (with type

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$ ), and what is

A

$A$ ? Or maybe suggest an appropriate tutorial?

— Neal Young

Slides 45 and 46 in math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (the good news is that now I have a definite plan and a deadline for writing up an extensive paper on synthetic computability).

— Andrej Bauer