Теорема ієрархії щодо розміру ланцюга

Я думаю, що теорема про ієрархію розмірів щодо складності ланцюга може стати головним проривом у цій галузі.

Це цікавий підхід до розділення класів?

Мотивація питання полягає в тому, що ми повинні сказати

є деяка функція, яку неможливо обчислити за розмірами ланцюгів і її можна обчислити за схемою розміру де . (і можливо щось щодо глибини)$f(n)$$g(n)$$f(n)<o(g(n))$

тому, якщо , властивість здається неприродною (це порушує умову величини). Зрозуміло, що ми не можемо використовувати діагоналізацію, оскільки ми не в єдиній обстановці.$f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

Чи є результат у цьому напрямку?

Насправді можна показати, що для кожного достатньо малого (менше ), існують функції, які можна обчислити за схемами розміром але не за схемами розміром , або навіть f (n) -1 , залежно від типу воріт, які ви дозволяєте.2 n / n f ( n ) f ( n ) - O ( 1 ) f ( n ) - $f$$2^n/n$$f(n)$$f(n)-O(1)$$f(n)-1$

Ось простий аргумент, який показує, що існують функції, які можна обчислити за розміром але не розміром f (n) -O (n) .f ( n ) - O ( n $f(n)$$f(n)-O(n)$

Ми знаємо, що:

1. існує функція $g$ яка вимагає складності ланцюга щонайменше $2^n/O(n)$ , і, зокрема, складність ланцюга більше, ніж $f(n)$ .
2. функція $z$ така, що $z(x)=0$ для кожного входу $x$ обчислюється ланцюгом постійного розміру.
3. якщо дві функції $g_1$ і $g_2$ відрізняються лише одним входом, то їх складність ланцюга відрізняється щонайбільше $O(n)$

Припустимо, що є ненульовим на входах. Викликайте такі входи . Ми можемо розглянути для кожного функцію яка є функцією індикатора множини ; таким чином і .N x 1 , … , x N i g i ( x ) { x 1 , … , x i } g 0 = 0 g N = $g$$N$$x_1,\ldots,x_N$$i$$g_i(x)$$\{ x_1,\ldots,x_i \}$$g_0=0$$g_N=g$

Зрозуміло, що є такий, що має складність ланцюга більше а має складність ланцюга менше . Але тоді має складність ланцюга менше але більше .g i + 1 f ( n ) g i f ( n ) g i f ( n ) f ( n ) - O ( n $i$$g_{i+1}$$f(n)$$g_i$$f(n)$$g_{i}$$f(n)$$f(n) - O(n)$

Цей результат можна довести, використовуючи простий аргумент підрахунку. Розглянемо випадкову функцію, застосовану до перших бітів вводу. Ця функція майже напевно має складність ланцюга за аргументом підрахунку Ріордана та Шеннона, а також відповідні верхні межі. Таким чином, вибравши так, що ми можемо відрізнити розмір від розміру . Зауважте, що розглядаються функції не обов'язково навіть обчислюватися, але ми можемо розмістити їх у експоненціальній ієрархії часу за допомогою стандартних методик (до тих пір, поки ми можемо обчислити правильне значення ). Звичайно, ми не можемо довести будь-яку межу, більшу за( 1 + o ( 1 ) ) ( 2 k / k ) k 2 g ( n ) < 2 k / k < f ( n ) / 2 g ( n ) f ( n ) k 2 n /$k$$(1+o(1))(2^k/k)$$k$$2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$$g(n)$$f(n)$$k$$2^n/n$, тому що це найгірший складність схеми будь-якої функції.

Природні докази не застосовуються для цього типу аргументів, оскільки питання, про яке йдеться, "не має малого кола", що не легко піддається обчислення з таблиці істинності функції (імовірно). Незрозуміло, наскільки низькою в класах складності може бути такий тип підрахунку. Чи є якась причина, чому ми не можемо використовувати аргумент підрахунку для доведення нижчих меж для ? Не те, що я знаю. $NE$