Випадковий цикл решітки, що ухиляється самостійно, у межах заданої рамки

У зв'язку з головоломкою Slither Link мені було цікаво: припустимо, у мене є сітка квадратних осередків , і я хочу знайти простий цикл країв сітки, рівномірно навмання серед усіх можливих простих циклів.$n\times n$

Одним із способів зробити це було б використання ланцюга Маркова, стани якого є наборами квадратів, межі яких є простими циклами і переходи яких полягають у виборі випадкового квадрата, який слід перевернути, і збереження фліп, коли модифікований набір квадратів все ще має простий цикл, як її межа. Таким способом можна дістатись із будь-якого простого циклу до будь-якого іншого (використовуючи стандартні результати про існування оболонок), так що це врешті-решт переходить до рівномірного розподілу, але як швидко?

Як варіант, чи є кращий ланцюг Маркова або прямий метод вибору простих циклів?

ETA: Дивіться цю публікацію в блозі для коду, щоб обчислити кількість циклів, які я шукаю, і покажчики на OEIS на деякі з цих чисел. Як ми знаємо, підрахунок - це майже те саме, що і випадкове покоління, і я випливаю з відсутності будь-якої очевидної закономірності в факторизації цих чисел та відсутності формули у записі OEIS, що навряд чи знайдеться простий простий прямий метод . Але це все ще залишає питання про те, наскільки швидко ця ланцюг сходить і чи є краща ланцюг широко відкритою.

Здається, що оскільки ви використовуєте підрахунки для кількості циклів у графі, щоб випадковим чином обрати цикл, якщо ви мали випадкове наближення до цього числа, то ви все одно можете вибрати цикл приблизно рівномірно.

Зауважимо, що кількість циклів у графі , який містить ребро , дорівнює кількості циклів у плюс кількості простих шляхів від до в . Таким чином, з наближенням поліноміального часу для кількості - шляхів наближення поліноміального часу може бути досягнуто шляхом поступового побудови до одного краю за один раз, наближеного до того, як ви йдете. ( u , v ) G - ( u , v ) u v G - ( u , v ) u v $G$$(u, v)$$G - (u, v)$$u$$v$$G - (u, v)$$u$$v$$G$

Я насправді думаю, що існує більш простий метод вибору циклу. Нехай - весь графік ребер навколо сітки сітки квадратів. Для кожного ребра знайдіть кількість циклів, що містять це ребро (яка - кількість контурів - у - ). Потім випадковим чином виберіть ребро, зважене на кількість циклів, які його містять. Це буде перший край у вашому випадково вибраному циклі. Усі інші краї вибиратимуть, подовжуючи по одному краю.n × n ( u , v ) u v G ( u , v $G$$n \times n$$(u, v)$$u$$v$$G$$(u, v)$

Припустимо, що ви вибрали шлях, який є частиною вашого випадкового циклу. Нехай набір вершин на цьому шляху дорівнює а і - кінцеві вершини шляху. Нехай також - набір сусідів яких немає у (зауважте, що у цьому конкретному графіку є лише до 3). Для кожного підрахуйте кількість контурів - в індукованому графіку . Потім вибрати сусід, , з зваженого по доріжках тільки підраховуються. Додати крайv s v e N v e C u ∈ N u v s G [ V - ( C - { v s , v e } ) ] u v e ( v e , u $C$$v_s$$v_e$$N$$v_e$$C$$u \in N$$u$$v_s$$G[V - (C - \{v_s, v_e \} ) ]$$u$$v_e$$(v_e, u)$ до обраного Вами шляху, продовжуючи його на одну.

Таким чином вибирається поліноміальне число ребер, кожен з яких потребує невеликої кількості обчислень алгоритму наближення поліноміального часу. Таким чином, цикл може бути обраний рівномірно.

В даний час у мене є питання stackexchange, в якому просять посилання на алгоритми наближення кількості швидких шляхів. Я читав у кількох місцях, що ці алгоритми існують, але ще не знайшли їх.