Монотонна схема складності обчислювальних функцій на рідких входах

Вагадвійкового рядка - кількість одиниць у рядку. Що станеться, якщо нам цікаво обчислити монотонну функцію на входах з кількома? $|x|$ $x\in\{0,1\}^n$

Ми знаємо, що вирішити, чи має графік -clique, важко для монотонних схем (див. Серед інших Alon Boppana, 1987), але якщо граф має, наприклад, щонайбільше ребер, то можна знайти монотонну обмежену схему глибини розмір який визначає -clique. $k$ $k^3$ $f(k)\cdot n^{O(1)}$ $k$

Моє запитання: чи є якась функція, яку важко обчислити монотонним контуром навіть на входах вагою менше ? Тут важко означає розмір ланцюга . $k$ $n^{{k}^{\Omega(1)}}$

Ще краще: чи існує чітка монотонна функція, яку важко обчислити, навіть якщо ми дбаємо лише про введення ваги і ? $k_1$ $k_2$

Еміль Йеребек вже зауважив, що відомі нижчі межі дотримуються монотонних схем, що розділяють два класи входів ( -cliques vs maximal -colorable graphs), таким чином, ціною деякої незалежності у ймовірнісному аргументі це можливо зробити робота для двох класів введення фіксованої ваги. Це призведе до того, що є функцією якої я хочу уникати. $a$ $(a-1)$ $k_2$ $n$

Що дійсно хотілося б - це явна жорстка функція для та значно менша за (як у параметризованій рамці складності). Ще краще, якщо . $k_1$ $k_2$ $n$ $k_1=k_2+1$

Зауважте, що позитивна відповідь для означатиме експоненціальну нижню межу для довільних схем. $k_1=k_2$

Оновлення : це питання може бути частково актуальним.

— MassimoLauria
джерело

До вашого першого (загального) питання (не про Кліке). Я думаю, навіть випадок введення з максимум - дуже важкий. Візьміть двочастотний графік з . Призначте кожній вершині булева змінна . Нехай монотонна булева функція, минтермов є для ребер з . Нехай - мінімальний розмір монотонної схеми, який правильно обчислює на входах з . Тоді будь-яка нижня межа для постійної

2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$ означатиме експоненціальну нижню межу для немонотонних схем.

— Стасіс

Існуючі аргументи для монотонних схем потребують відхилення багатьох входів з багатьма ( ) . Найкраще , що ми можемо зробити так далеко , щоб довести нижня межа , коли контур повинен вжити всіх -cliques, і відкидають всі повні -дольних графіки ( ). Неважливо, що ви маєте справу з рідкісними , а не з щільними входами. Скажімо, -Clique вимагає монотонних схем розміром приблизно для кожної постійної , але -Clique має монотонні схеми розміром для кожного

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$ постійна .

k

$k$

— Стасіс

Я повинен уточнити, що я дбаю про рідкі введення в розумінні розрідженого графіка. Шукаючи -clique в дуже розрізненому графіку (з кажуть ребрами), можна виконати монотонний розмір схеми FPT.

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— MassimoLauria

Ваш приклад у першому коментарі дуже приємний. Якщо я правильно розумію, це аналогічна проблема з монотонними функціями, які важкі за фіксованою вагою . Використовуючи функції псевдодоповнення для імітації заперечених входів, складність схеми не відрізняється між монотонним та немонотонним випадком. Для постійного (або малого) цей псевдокомплект може бути ефективно реалізований монотонним контуром.

k

$k$

k

$k$

— MassimoLauria

мій перший коментар спирався на складність графіка. Явище " " можна знайти на сторінці 13 цього проекту . До речі, я не зовсім зрозумів, що ти маєш на увазі під тим, що "важкий для k і k + 1"? (Моя провина, звичайно.)

(2 + c) n

$(2+c)n$

— Стасіс

конкретно розглядаючи одну частину запитання (наприклад, для = 1, = 2), Локам вивчав функції "2-х фрагментів" у цій роботі та доводить, що сильні нижні межі на них можна узагальнити, тому це дуже складна відкрита проблема пов'язане з розділенням базового класу складності; будь-яка така побудова / явна функція буде проривом; з реферату: $k_1$ $k_2$

Булева функція f називається 2-зрізною функцією, якщо вона обчислює нуль на входах, які мають менше двох 1, і оцінює один на входах, що мають більше двох 1-х. На входах з точно двома 1-ма f може бути нетривіально визначеним. Існує природна відповідність між 2-зрізаними функціями та графіками. Використовуючи рамки складності графів, ми показуємо, що досить сильні надлінійні монотонні нижні межі для особливого класу 2-зрізних функцій означатимуть суперполіноміальні нижні межі над повною основою для певних функцій, похідних від них.

Складність графіка та функції зрізів / Satyanarayana V. Lokam, Theory Comput. Системи 36, 71–88 (2003)

також як у своїх коментарях SJ висвітлює подібний випадок у своїй книзі в розділі, що вивчає складність зірок графіків sec1.7.2.

Булева функціональна складність: аванси та рубежі , Стасіс Юкна

— взн
джерело