Скасування та визначник

9

Алгоритм Берковіца забезпечує схему розміру полінома з логарифмічною глибиною для визначення детермінанта квадратної матриці з використанням матричних потужностей. Алгоритм неявно використовує скасування. Чи є скасування суттєвим для досягнення схеми розміру полінома з логарифмічною або лінійною глибиною для обчислення детермінанта (і будь-якої можливої найкращої схеми для постійної)? Чи існують цілком експоненціальні (не просто суперполіноміальні чи субпоненціальні) нижні межі цих проблем із використанням схем без скасування?

— Т….
джерело

2

у певному інтуїтивному сенсі без скасування визначник - це те саме, що і постійний

— Сашо Ніколов

11

Так, скасування потрібне і є нижчі межі для монотонних та для некомутативних моделей, де скасування неможливе. Дивіться дискусію в арифметичних схемах Monotone . Огляд складності арифметичних схем можна знайти на веб-сайті http://www.cs.technion.ac.il/~shpilka/publications/SY10.pdf

— Нім
джерело

1

У когось із JIC виникає проблема, що монотонні ланцюги (без -ві постійні) не можуть тривіально обчислити детермінант (оскільки він містить -ve коефіцієнти). Визначте формальні одночлени індуктивно таким чином: Якщо , то формальні одночлени - це об'єднання числа і . Якщо , то формальні одночлени - це всі одночлени, отримані шляхом взяття одного з і множення на один з . Нижня межа Джеррума-Сніра працює до тих пір, поки ланцюг задовольняє властивість того, що формальні одночлени кореня дорівнюють ненульовим одночленам обчисленого полінома.

f = g_{1} + g_{2}

$f = g_1 + g_2$

f

$f$

g_{1}

$g_1$

g_{2}

$g_2$

f = g_{1} \times g_{2}

$f = g_1 \times g_2$

g_{1}

$g_1$

g_{2}

$g_2$

— Рампрасад

1

Я думаю, цей документ прямо відповідає на ваше запитання.

Скасування є експоненціально потужним для обчислення детермінанта

Sengupta показує, що навіть якщо ви використовуєте віднімання (отже, схема не є монотонною), але до тих пір, поки ви ніколи не "скасовуєте" жодні обчислені одночлени, то визначник обчислення схеми матриці розміру має розмір принаймні . $n \times n$ $n(2^{n-1}-1)$

— Thatchaphol
джерело