Який розподіл
У мене є чотири незалежні рівномірно розподілені змінні a,b,c,da,b,c,da,b,c,d , кожна в [0,1][0,1][0,1] . Я хочу обчислити розподіл (a−d)2+4bc(a−d)2+4bc(a-d)^2+4bc . Я обчислив розподіл u2=4bcu2=4bcu_2=4bc щоб було f2(u2)=−14lnu24f2(u2)=−14lnu24f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4} (отже,u2∈(0,4]u2∈(0,4]u_2\in(0,4]), аu1=(a−d)2u1=(a−d)2u_1=(a-d)^2будеf1(u1)=1−u1−−√u1−−√.f1(u1)=1−u1u1.f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.Тепер розподіл сумиu1+u2u1+u2u_1+u_2дорівнює (u1,u2u1,u2u_1,\, u_2 також незалежні)fu1+u2(x)=∫+∞−∞f1(x−y)f2(y)dy=−14∫401−x−y−−−−√x−y−−−−√⋅lny4dy,fu1+u2(x)=∫−∞+∞f1(x−y)f2(y)dy=−14∫041−x−yx−y⋅lny4dy,f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,тому щоy∈(0,4]y∈(0,4]y\in(0,4]. Тут має бутиx>yx>yx>yтому інтеграл дорівнюєfu1+u2(x)=−14∫x01−x−y−−−−√x−y−−−−√⋅lny4dy.fu1+u2(x)=−14∫0x1−x−yx−y⋅lny4dy.f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.Тепер я вставляю його в Mathematica і отримую, щоfu1+u2(x)=14[−x+xlnx4−2x−−√(−2+lnx)].fu1+u2(x)=14[−x+xlnx4−2x(−2+lnx)].f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right]. …