Показ
Якщо , знайдіть розподіл .X∼C(0,1)X∼C(0,1)X\sim\mathcal C(0,1)Y=2X1−X2Y=2X1−X2Y=\frac{2X}{1-X^2} У нас єFY(y)=Pr(Y≤y)FY(y)=Pr(Y≤y)F_Y(y)=\mathrm{Pr}(Y\le y) =Pr(2X1−X2≤y)=Pr(2X1−X2≤y)\qquad\qquad\qquad=\mathrm{Pr}\left(\frac{2X}{1-X^2}\le y\right) =⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪Pr(X∈(−∞,−1−1+y2√y])+Pr(X∈(−1,−1+1+y2√y]),ify>0Pr(X∈(−1,−1+1+y2√y])+Pr(X∈(1,−1−1+y2√y]),ify<0={Pr(X∈(−∞,−1−1+y2y])+Pr(X∈(−1,−1+1+y2y]),ify>0Pr(X∈(−1,−1+1+y2y])+Pr(X∈(1,−1−1+y2y]),ify<0\qquad\qquad=\begin{cases} \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y>0\\ \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(1,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y<0 \end{cases} Цікаво, чи вказане вище розрізнення випадків правильне чи ні. З іншого боку, наступний видається більш простим методом: Ми можемо записати використовуючи тотожністьY=tan(2tan−1X)Y=tan(2tan−1X)Y=\tan(2\tan^{-1}X)2tanz1−tan2z=tan2z2tanz1−tan2z=tan2z\frac{2\tan z}{1-\tan^2z}=\tan 2z ТеперХ∼ С( 0 , 1 )⟹засмага- 1Х∼ R …